Контрольные задания > 1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Доказать: ΔABO = ΔDCO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сумма углов при основании равна 156°. Найти: углы треугольника АBC. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = 90°). Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.
Вопрос:

1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Доказать: ΔABO = ΔDCO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сумма углов при основании равна 156°. Найти: углы треугольника АBC. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = 90°). Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:



1. Доказательство равенства треугольников ΔABO и ΔDCO:




  1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110°.

  2. Доказать: ΔABO = ΔDCO.

  3. Рассмотрим углы:

    • ∠AOC = 110° (дано).

    • ∠BOD = ∠AOC = 110° (как вертикальные углы).

    • В треугольнике AOB: ∠BAO = 180° - ∠ABC - ∠AOB = 180° - 65° - ∠AOB.

    • В треугольнике DOC: ∠DCO = 180° - ∠ADC - ∠DOC = 180° - 45° - ∠DOC.

    • ∠AOB и ∠DOC — вертикальные углы, значит ∠AOB = ∠DOC.

    • Следовательно, ∠BAO = 180° - 65° - ∠AOB и ∠DCO = 180° - 45° - ∠AOB.

    • Так как ∠BAO ≠ ∠DCO (65° ≠ 45°), то равенство треугольников по первому признаку (две стороны и угол между ними) невозможно, если не воспользоваться другими данными.



  4. Попробуем использовать второй признак равенства треугольников (угол, сторона, угол):

    • У нас есть ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы) и AB = CD (дано).

    • Нам нужны равные углы, прилежащие к стороне AB и CD.

    • ∠BAO и ∠DCO не равны.

    • ∠ABO = 65° (дано).

    • ∠CDO = ?

    • ∠ADO = 45° (дано).

    • ∠ADO = ∠ADC = 45°.

    • ∠ABC = 65°.



  5. Попробуем использовать третий признак равенства треугольников (три стороны):

    • У нас есть AB = CD.

    • Нужно доказать, что AO = DO и BO = CO.



  6. Давайте перепроверим условие и рисунок. Рисунок 5.91 показывает пересекающиеся отрезки AC и BD в точке O.

  7. Используем теорему синусов в треугольниках:

    • В ΔABO: \( \frac{AB}{\sin(∠AOB)} = \frac{AO}{\sin(∠ABO)} = \frac{BO}{\sin(∠BAO)} \)
      \( \frac{AB}{\sin(∠AOB)} = \frac{AO}{\sin(65°)} \)

    • В ΔDCO: \( \frac{CD}{\sin(∠DOC)} = \frac{DO}{\sin(∠DCO)} = \frac{CO}{\sin(∠CDO)} \)
      \( \frac{CD}{\sin(∠AOB)} = \frac{DO}{\sin(∠DCO)} \)

    • Так как AB = CD и ∠AOB = ∠DOC, то \( \frac{AO}{\sin(65°)} = \frac{DO}{\sin(∠DCO)} \).



  8. Рассмотрим углы при основании AC и BD.

    • В ΔAOD: ∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 110° = 70°.

    • ∠DAO + ∠ADO + ∠AOD = 180°

    • ∠DAO + 45° + 70° = 180°

    • ∠DAO = 180° - 115° = 65°.

    • Значит, ∠BAC = ∠DAO = 65°.



  9. Итак, в ΔABC:

    • ∠ABC = 65° (дано).

    • ∠BAC = 65° (найдено).

    • Следовательно, ΔABC — равнобедренный с основанием AC. AB = BC.



  10. Теперь вернемся к треугольникам ΔABO и ΔDCO:

    • AB = CD (дано).

    • ∠ABO = 65° (дано).

    • ∠CDO = ?

    • ∠ADO = 45° (дано).

    • ∠DCO = ?

    • ∠AOC = 110° (дано), ∠AOD = 70°.

    • ∠DAO = 65° (найдено).

    • В ΔAOD: AO / sin(45°) = DO / sin(65°).

    • В ΔBOC: ∠BOC = 70°. ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°. ∠OBC + ∠OCB = 110°.

    • ∠ABO = 65°.

    • ∠CBO = ∠ABC - ∠ABO = 65° - 65° = 0°, что невозможно.



  11. Возможно, условие или рисунок содержат ошибку, или требуется другой подход.



2. Нахождение углов равнобедренного треугольника ABC:




  1. Дано: ΔABC — равнобедренный с основанием AC. Сумма углов при основании равна 156°.

  2. Найти: ∠ABC, ∠BAC, ∠BCA.

  3. Решение:

    • Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠BAC = ∠BCA.

    • По условию: ∠BAC + ∠BCA = 156°.

    • Значит, 2 * ∠BAC = 156°.

    • ∠BAC = 156° / 2 = 78°.

    • ∠BCA = 78°.

    • Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.

    • ∠ABC + 78° + 78° = 180°.

    • ∠ABC + 156° = 180°.

    • ∠ABC = 180° - 156° = 24°.




Ответ: Углы треугольника ABC равны 78°, 78° и 24°.



3. Доказательство параллельности прямых AB и CD:




  1. Дано: Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. ΔABC и ΔADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = 90°, ∠D = 90°).

  2. Доказать: AB || CD.

  3. Решение:

    • В равнобедренном прямоугольном ΔABC: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.

    • В равнобедренном прямоугольном ΔADC: ∠DAC = ∠DCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.

    • Рассмотрим углы, образованные секущей AC:

      • ∠BAC = 45° (найдено).

      • ∠ACD = 45° (найдено).



    • Так как ∠BAC = ∠ACD = 45°, и эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC, то AB || CD.




Ответ: Доказано.



4. Задача с рисунком 5.92:




  1. Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см.

  2. а) Найти: Целые числа, между которыми заключена длина отрезка BC.

  3. Решение:

    • Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (∠DBC = 90°).

    • Мы знаем один катет (BD = 4 см) и угол ∠BDC = 60°.

    • Используем тангенс угла ∠BDC:
      \( \tan(∠BDC) = \frac{BC}{BD} \)
      \( \tan(60°) = \frac{BC}{4} \)

    • Значение \( \tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.732 \).

    • \( BC = BD \cdot \tan(60°) = 4 \cdot \sqrt{3} \) см.

    • \( BC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928 \) см.

    • Целые числа, между которыми заключена длина отрезка BC, это 6 и 7.



  4. б) Найти: Длину медианы BE.

  5. Решение:

    • Медиана BE в треугольнике BDC соединяет вершину B с серединой стороны DC.

    • Сначала найдем длину гипотенузы DC в прямоугольном треугольнике BDC:
      \( \cos(∠BDC) = \frac{BD}{DC} \)
      \( \cos(60°) = \frac{4}{DC} \)
      \( \frac{1}{2} = \frac{4}{DC} \)
      \( DC = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

    • Точка E — середина DC, значит, DE = EC = DC / 2 = 8 / 2 = 4 см.

    • Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDE (∠BDE = 60°, BD = 4 см, DE = 4 см).

    • Мы можем найти длину BE, используя теорему Пифагора в треугольнике BDE, если бы он был прямоугольным, но это не так.

    • В прямоугольном треугольнике BDC, ∠BCD = 180° - 90° - 60° = 30°.

    • Теперь найдем длину BC (уже рассчитано в пункте а): \( BC = 4 \sqrt{3} \) см.

    • Рассмотрим треугольник BCE. У нас есть BC = \( 4 \sqrt{3} \), EC = 4. Угол ∠BCE = 30°.

    • Используем теорему косинусов для нахождения BE:
      \( BE^2 = BC^2 + EC^2 - 2 \cdot BC \cdot EC \cdot \cos(∠BCE) \)
      \( BE^2 = (4 \sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot (4 \sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \cos(30°) \)
      \( BE^2 = (16 \cdot 3) + 16 - 2 \cdot 16 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
      \( BE^2 = 48 + 16 - 32 \cdot \frac{3}{2} \)
      \( BE^2 = 64 - 16 \cdot 3 \)
      \( BE^2 = 64 - 48 \)
      \( BE^2 = 16 \)
      \( BE = \sqrt{16} = 4 \) см.




Ответ: а) Между числами 6 и 7. б) Длина медианы BE равна 4 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю