1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ∆ABO = ∆CDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сумма углов А и С равн 156°. Найти: углы треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы PD.

Задание 1

Дано:

• $$AB = CD$$
• $$\angle ABC = 65^\circ$$
• $$\angle ADC = 45^\circ$$
• $$\angle AOC = 110^\circ$$

Найти: $$\angle C$$

Доказать: $$\triangle ABO = \triangle CDO$$

Решение:

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$. Нам дано, что $$AB = CD$$. Углы $$\angle BAO$$ и $$\angle DCO$$ равны как углы при основании равнобедренного треугольника (если предположить, что $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BDC$$ равнобедренные, но это не указано). Углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ равны как вертикальные углы.

Поскольку $$\angle AOC = 110^\circ$$, то $$\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ (если точки A, O, C лежат на одной прямой, что не указано). Если O — точка пересечения диагоналей, то $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные углы, значит $$\angle AOB = \angle COD$$.

В условии задачи есть противоречие: даны $$\angle ABC = 65^\circ$$ и $$\angle ADC = 45^\circ$$, а также $$\angle AOC = 110^\circ$$. Если O — точка пересечения диагоналей, то $$\angle AOC$$ — один из углов, образованных диагоналями. Без дополнительной информации о положении точек и их связях, доказать равенство треугольников $$ABO$$ и $$CDO$$ невозможно.

Для того чтобы доказать равенство треугольников $$\triangle ABO = \triangle CDO$$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), нам нужно знать, что $$AO = CO$$ и $$BO = DO$$, или по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам), или по третьему признаку (по трём сторонам).

Из условия $$AB = CD$$ и $$\angle AOC = 110^\circ$$ (как угол между диагоналями), и если $$\angle ABC = 65^\circ$$, $$\angle ADC = 45^\circ$$. Чтобы доказать равенство, нам не хватает данных. Возможно, в задаче подразумевается, что ABCD — трапеция, или другие свойства.

Предположим, что O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Если $$\angle AOC = 110^\circ$$, то $$\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ (смежные углы). Вертикальные углы $$\angle AOB = \angle COD = 70^\circ$$. Тогда $$\angle BOC = \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$.

В $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$ имеем: $$AB = CD$$ (дано) и $$\angle AOB = \angle COD = 70^\circ$$ (вертикальные). Для равенства по первому признаку (СУС) нужно $$AO = CO$$ и $$BO = DO$$, что не дано. Для равенства по второму признаку (УСУ) нужно знать углы прилежащие к стороне $$AB$$ и $$CD$$. Например, $$\angle OAB = \angle OCD$$ и $$\angle OBA = \angle ODC$$. Это не дано.

Вывод по заданию 1: Недостаточно данных для решения.

Задание 2

Дано:

• $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$.
• $$\angle A + \angle C = 156^\circ$$.

Найти: углы $$\triangle ABC$$ ($$\angle A, \angle B, \angle C$$).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle C$$.
2. Нам дано, что сумма углов при основании равна $$156^\circ$$: $$\angle A + \angle C = 156^\circ$$.
3. Так как $$\angle A = \angle C$$, то $$2 \angle A = 156^\circ$$.
4. Найдём угол при основании: $$\angle A = \angle C = \frac{156^\circ}{2} = 78^\circ$$.
5. Сумма углов в любом треугольнике равна $$180^\circ$$: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$.
6. Подставим известные значения: $$78^\circ + \angle B + 78^\circ = 180^\circ$$.
7. $$156^\circ + \angle B = 180^\circ$$.
8. Найдём угол при вершине: $$\angle B = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$.

Ответ: $$\angle A = 78^\circ$$, $$\angle B = 24^\circ$$, $$\angle C = 78^\circ$$.

Задание 3

Дано:

• Точки $$B$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$AC$$.
• $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равнобедренные прямоугольные.
• $$\angle B = \angle D = 90^\circ$$.

Доказать: $$AB \parallel CD$$

Решение:

Так как $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равнобедренные прямоугольные треугольники, то их катеты равны.

1. В $$\triangle ABC$$: $$AB = BC$$ (так как основание $$AC$$).
2. В $$\triangle ADC$$: $$AD = CD$$ (так как основание $$AC$$).
3. Рассмотрим углы при основании $$AC$$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $$45^\circ$$.
4. Значит, $$\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$$.
5. Также $$\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$$.
6. Теперь рассмотрим углы, которые при пересечении параллельных прямых секущей образуются:
7. $$\,\angle BAC$$ и $$\angle ACD$$ — накрест лежащие углы при прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$.
8. $$\angle BAC = 45^\circ$$ и $$\angle ACD = 45^\circ$$.
9. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.

Доказано.

Задание 4

Дано:

• $$\angle DBC = 90^\circ$$
• $$\angle BDC = 60^\circ$$
• $$BD = 4$$ см

Найти:

1. а) Длину отрезка $$BC$$ (между какими целыми числами заключена).
2. б) Длину медианы $$PD$$.

Решение:

а) Найдём длину отрезка $$BC$$.

1. Рассмотрим $$\triangle BDC$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$.
2. $$\angle BCD = 180^\circ - \angle DBC - \angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$.
3. \( \triangle BDC \) — прямоугольный треугольник.
4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы.
5. Катет $$BC$$ лежит против угла $$\angle BDC = 60^\circ$$, а гипотенуза — $$BD$$ (так как угол $$C$$ равен $$30^\circ$$, а $$BD$$ лежит напротив него).
6. Нет, это неверно. Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла ($$\angle DBC = 90^\circ$$). Значит, гипотенуза — $$DC$$.
7. В прямоугольном $$\triangle BDC$$:
8. $$BC = BD \cdot \sin(\angle BDC) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ см.
9. $$DC = BD \cdot \cos(\angle BDC) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ см.
10. $$BC = BD \cdot \tan(\angle BDC)$$ — неверно.
11. $$BC = BD \cdot \sin(\angle BDC)$$ — неверно, $$BC$$ — катет, $$BD$$ — катет.
12. Правильно: $$BC = BD \cdot \tan(\angle BDC)$$ — неверно, $$BC$$ — катет, $$BD$$ — катет.
13. В $$\triangle BDC$$:
14. $$BC$$ — катет, противолежащий углу $$60^\circ$$. $$BD$$ — катет, противолежащий углу $$30^\circ$$. $$DC$$ — гипотенуза.
15. $$BD = DC \cdot \sin(30^\circ) \implies 4 = DC \cdot \frac{1}{2} \implies DC = 8$$ см.
16. $$BC = DC \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см.
17. Или $$BC = BD \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см.
18. $$4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928$$ см.
19. Длина $$BC$$ заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Найдём длину медианы $$PD$$.

Для того чтобы найти медиану $$PD$$, нам нужно знать положение точки $$P$$. Медиана $$PD$$ означает, что $$P$$ — середина стороны $$BC$$. Однако, из условия задачи не ясно, в каком треугольнике проводится медиана $$PD$$. Если $$PD$$ — медиана в $$\triangle BDC$$, то $$P$$ — середина $$BC$$. Но точка $$P$$ не определена.

Предположим, что $$P$$ — середина стороны $$BC$$ в $$\triangle BDC$$.

Мы нашли $$BC = 4\sqrt{3}$$ см. Значит, $$BP = PC = \frac{1}{2} BC = 2\sqrt{3}$$ см.

Теперь нужно найти длину медианы $$PD$$ в $$\triangle BDC$$. Можно использовать теорему Аполлония, но для этого нужны длины сторон $$BD$$ и $$CD$$. Мы уже нашли $$DC = 8$$ см.

По теореме Аполлония для медианы $$PD$$ в $$\triangle BDC$$ (где $$P$$ — середина $$BC$$):

$$BD^2 + CD^2 = 2(PD^2 + BP^2)$$

$$4^2 + 8^2 = 2(PD^2 + (2\sqrt{3})^2)$$

$$16 + 64 = 2(PD^2 + 4 \cdot 3)$$

$$80 = 2(PD^2 + 12)$$

$$40 = PD^2 + 12$$

$$PD^2 = 40 - 12 = 28$$

$$PD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$$ см.

$$\sqrt{7} \approx 2.646$$, значит $$PD \approx 2 \cdot 2.646 = 5.292$$ см.

Ответ:

а) Длина отрезка $$BC$$ заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Длина медианы $$PD$$ равна $$2\sqrt{7}$$ см.