1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: С. Доказать: ДАВО = ADCO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сумма углов А ИС равна 156°. Найти: углы треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.

1. Решение:

Чтобы доказать равенство треугольников \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \), нам не хватает данных. Условие задачи не позволяет сделать вывод о равенстве этих треугольников.

2. Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).

По условию, сумма углов \( A \) и \( C \) равна \( 156^{\circ} \).

\( \angle A + \angle C = 156^{\circ} \)

Так как \( \angle A = \angle C \), то \( 2 \angle A = 156^{\circ} \).

\( \angle A = \frac{156^{\circ}}{2} = 78^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle C = 78^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 78^{\circ}, \angle B = 24^{\circ}, \angle C = 78^{\circ} \).

3. Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные, \( \angle B = \angle D = 90^{\circ} \), \( \angle BAC = \angle BCA \) и \( \angle DAC = \angle DCA \) (так как они равнобедренные с основанием \( AC \)).

Доказать: \( AB \parallel CD \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Так как он равнобедренный прямоугольный, то \( \angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ} \).
2. Рассмотрим \( \triangle ADC \). Так как он равнобедренный прямоугольный, то \( \angle DAC = \angle DCA = 45^{\circ} \).
3. Угол \( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
4. Угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (по условию).
5. Если прямая \( AB \) и прямая \( CD \) пересекаются секущей \( AC \), и сумма внутренних односторонних углов \( \angle BAC + \angle ACD = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \) (не \( 180^{\circ} \), значит, не параллельны).
6. Рассмотрим секущую \( BC \). Нам нужно найти внутренние накрест лежащие или односторонние углы.
7. Рассмотрим секущую \( BD \).
8. Другой подход:
9. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AB = BC \) (так как равнобедренный прямоугольный).
10. Рассмотрим \( \triangle ADC \). \( AD = DC \) (так как равнобедренный прямоугольный).
11. Доказательство параллельности:
12. Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) — прямые (\( 90^{\circ} \)).
13. Точки \( B \) и \( D \) лежат в разных полуплоскостях относительно \( AC \).
14. Рассмотрим четырёхугольник \( ABCD \). Сумма углов \( \angle B + \angle D = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
15. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^{\circ} \), то этот четырёхугольник вписан в окружность.
16. Доказательство параллельности:
17. Угол \( \angle BAC = 45^{\circ} \) и \( \angle DAC = 45^{\circ} \).
18. Угол \( \angle CAD = 45^{\circ} \).
19. Угол \( \angle ACD = 45^{\circ} \).
20. Рассмотрим углы, образованные секущими.
21. Угол \( \angle BCA = 45^{\circ} \), \( \angle DCA = 45^{\circ} \).
22. Угол \( \angle CAD = 45^{\circ} \), \( \angle BAC = 45^{\circ} \).
23. Рассмотрим секущую AC.
24. \( \angle BAC = 45^{\circ} \), \( \angle ACD = 45^{\circ} \). Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \) только если \( AC \) является общей гипотенузой, что верно.
25. Ошибка в рассуждении.
26. Правильное доказательство:
27. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle ABC = 90^{\circ} \). \( AB = BC \) (так как равнобедренный).
28. Рассмотрим \( \triangle ADC \). \( \angle ADC = 90^{\circ} \). \( AD = DC \) (так как равнобедренный).
29. Пусть \( AB = BC = a \). Тогда по теореме Пифагора \( AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \).
30. Пусть \( AD = DC = b \). Тогда по теореме Пифагора \( AC = \sqrt{b^2 + b^2} = b\sqrt{2} \).
31. Значит, \( a\sqrt{2} = b\sqrt{2} \), откуда \( a = b \).
32. Следовательно, \( AB = BC = AD = DC \).
33. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). У них равны три стороны ( \( AB=AD \), \( BC=DC \), \( AC=AC \) - общий).
34. Значит, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) по трем сторонам.
35. \( \angle BAC = \angle DAC \) и \( \angle BCA = \angle DCA \).
36. \( \angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ} \) и \( \angle DAC = \angle DCA = 45^{\circ} \).
37. Чтобы доказать \( AB \parallel CD \), рассмотрим секущую AC.
38. \( \angle BAC = 45^{\circ} \) и \( \angle ACD = 45^{\circ} \).
39. Так как \( \angle BAC = \angle ACD \) и эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \), то \( AB † CD \).
40. Пояснение: \( \angle BAC \) — угол между \( AB \) и \( AC \). \( \angle ACD \) — угол между \( CD \) и \( AC \). Эти углы накрест лежащие, потому что точки \( B \) и \( D \) лежат в разных полуплоскостях относительно \( AC \).
41. Ответ: Доказано.

4. Решение:

Дано: \( \triangle BDC \), \( \angle DBC = 90^{\circ} \), \( \angle BDC = 60^{\circ} \), \( BD = 4 \) см.

а) Найти длину отрезка ВС.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BDC \):

\( \text{tg}(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} \)

\( \text{tg}(60^{\circ}) = \frac{BC}{4} \)

\( BC = BD \cdot \text{tg}(60^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \) см.

\( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( BC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928 \) см.

Целые числа, между которыми заключена длина отрезка \( BC \): 6 и 7.

б) Найти длину медианы ВЕ.

Медиана \( BE \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle BDC \) проведена к гипотенузе \( DC \).

Сначала найдём длину гипотенузы \( DC \).

\( \text{cos}(\angle BDC) = \frac{BD}{DC} \)

\( \text{cos}(60^{\circ}) = \frac{4}{DC} \)

\( DC = \frac{4}{\text{cos}(60^{\circ})} = \frac{4}{0.5} = 8 \) см.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

\( BE = \frac{1}{2} DC \)

\( BE = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.

Ответ: а) Между целыми числами 6 и 7. б) Длина медианы ВЕ равна 4 см.