Контрольные задания > 1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.
Вопрос:

1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

1. Решение:

  1. Доказательство равенства треугольников ΔABO и ΔCDO:
    1. BO = DO (дано).
    2. ∠AOC = 100° (дано). Вертикальные углы ∠AOB и ∠COD равны, то есть ∠AOB = ∠COD = 100°.
    3. Углы при основании равнобедренного треугольника ABC равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 42°}{2} = \frac{138°}{2} = 69° \).
    4. Угол ABC равен 42°. Так как \( \angle ABC = 42° \), то \( \angle BAC = \angle BCA = (180° - 42°) / 2 = 69° \).
    5. В треугольнике ABC: \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle BCA = 180° - 42° - 69° = 69° \).
    6. Из равенства треугольников ABC и ADC следует, что \( \angle CAD = \angle CAB = 69° \) и \( \angle ACD = \angle ACB = 69° \).
    7. В треугольнике ABO: \( \angle BAO = \angle BAC = 69° \).
    8. В треугольнике CDO: \( \angle DCO = \angle BCD - \angle ACO = 55° - 69° \).
    9. Невозможно решить задачу без дополнительных данных или уточнений.

2. Решение:

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, угол B равен 42°.

  1. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
  2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - \angle ABC}{2} \).
  3. \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 42°}{2} = \frac{138°}{2} = 69° \).

Ответ: Углы при основании равны по 69°.

3. Решение:

Доказательство:

  1. Треугольники ABC и ADC равносторонние, следовательно, все их стороны равны: \( AB = BC = AC \) и \( AD = DC = AC \).
  2. Отсюда следует, что \( AB = AD = DC = CB \).
  3. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равносторонние, значит, \( \angle BAC = \angle DAC = \angle BCA = \angle DCA = 60° \).
  4. Рассмотрим угол \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 60° + 60° = 120° \).
  5. Рассмотрим угол \( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 60° + 60° = 120° \).
  6. Четырёхугольник ABCD является ромбом, так как у него все стороны равны.
  7. В ромбе противолежащие углы равны: \( \angle BAD = \angle BCD = 120° \) и \( \angle ABC = \angle ADC = 60° \).
  8. Невозможно доказать, что AB || CD, так как в равностороннем треугольнике стороны не могут быть параллельны. Возможно, задача подразумевает, что треугольники ABC и ADC равнобедренные.

    Если треугольники ABC и ADC равнобедренные и равносторонние, то AB || CD не выполняется.

4. Решение:

Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см.

а) Нахождение отрезка EP:

  1. Треугольник EPM — прямоугольный (∠EPM = 90°).
  2. Катет EP лежит против угла ∠EMF.
  3. Угол ∠EMF = 180° – 90° – 30° = 60°.
  4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет EP лежит против угла ∠EMF = 60°, а катет PM лежит против угла ∠MEP = 30°.
  5. Катет PM = ME * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.
  6. Теперь найдём катет EP: EP = ME * cos(30°) = 10 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 5\sqrt{3} \) см.
  7. Приблизительное значение \( \sqrt{3} \) ≈ 1.732.
  8. EP ≈ 5 * 1.732 = 8.66 см.
  9. Числа, между которыми заключено значение 8.66, это 8 и 9.

б) Нахождение медианы PD:

  1. Медиана PD проведена из вершины P к середине стороны ME.
  2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  3. Однако PD является медианой к стороне ME, а не из вершины прямого угла.
  4. Чтобы найти длину медианы PD, нужно найти координаты точек, если это возможно, или использовать теорему косинусов.
  5. В прямоугольном треугольнике EPM:
    • EP = \( 5\sqrt{3} \) см.
    • PM = 5 см.
  6. Точка D — середина ME.
  7. По теореме о медиане в треугольнике: \( PD^2 = \frac{2PE^2 + 2PM^2 - ME^2}{4} \).
    ME = 10 см.
  8. \( PD^2 = \frac{2 (5\sqrt{3})^2 + 2(5)^2 - (10)^2}{4} \)
    \( PD^2 = \frac{2(25 \times 3) + 2(25) - 100}{4} \)
    \( PD^2 = \frac{2(75) + 50 - 100}{4} \)
    \( PD^2 = \frac{150 + 50 - 100}{4} \)
    \( PD^2 = \frac{100}{4} = 25 \)
    \( PD = \sqrt{25} = 5 \) см.

Ответ: а) Между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю