1. Дано: CD ⟂ SB, CD = 6 см, ∠CBD = 60°. Найти: Vₖ. (На рисунке конус с вершиной S, центром основания O и точками C, B на окружности; D лежит на SB.)

Обозначим радиус основания через r, а высоту конуса через h. В осевом сечении SОB получаем прямоугольный треугольник с катетами h и r; отрезок BC — диаметр основания, поэтому ∠СВО = 90°.

Так как D лежит на SB и CD ⟂ SB, треугольник CBD прямоугольный при D. При ∠CBD = 60° и CD = 6 см:

\(\tan 60^\circ=\frac{CD}{BD}\), значит \(BD=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\) см.

\(\cos 60^\circ=\frac{BD}{BC}\), поэтому \(BC=2BD=4\sqrt3\) см. Следовательно, диаметр основания равен \(4\sqrt3\) см, а радиус \(r=2\sqrt3\) см.

Поскольку SB — гипотенуза прямоугольного треугольника SOB, а BD — проекция катета BC на SB, применяем теорему о проекциях катетов: \(BC^2=BD\cdot SB\). Тогда \(SB=\frac{(4\sqrt3)^2}{2\sqrt3}=8\sqrt3\) см.

Из прямоугольного треугольника SOB:

\(h=SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{(8\sqrt3)^2-(2\sqrt3)^2}=2\sqrt{45}=6\sqrt5\) см.

Объём конуса:

\(V_k=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(2\sqrt3)^2\cdot6\sqrt5=24\pi\sqrt5\) см³.

Ответ: \(24\pi\sqrt5\) см³.