1. Дано: CD ⟂ SB, CD = 6 см, ∠CBD = 60°. Найти: Vк. На рисунке BC — диаметр основания конуса, D лежит на SB.

Рассмотрим осевое сечение конуса — треугольник SBC. Так как BC — диаметр основания, а боковые стороны конуса равны, треугольник SBC равнобедренный: SB = SC. Поэтому его углы при основании равны.

Поскольку D лежит на SB, ∠CBD = ∠CBS = 60°. Значит, и ∠SCB = 60°, а тогда ∠BSC = 60°. Треугольник SBC равносторонний.

CD — высота равностороннего треугольника, и CD = 6 см. Высота делит основание пополам, поэтому радиус основания конуса r = CO = BC/2. Для равностороннего треугольника высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}BC\), откуда \(BC=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\) см и \(r=2\sqrt{3}\) см. Высота конуса SO совпадает с высотой осевого сечения: h = 6 см.

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^2\cdot6=24\pi\) см³.

Ответ: \(24\pi\) см³.