1. Дано: cos B = 1/3, AB = 4 (рис. 7.155). Найти: HK.

Решение:

1. Дано:
   • \[ \cos B = \frac{1}{3} \]
   • \[ AB = 4 \]
   • (рис. 7.155)
2. Найти:
• \[ HK \]
3. Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) имеем:
• \[ \cos B = \frac{BC}{AB} \]
• \[ BC = AB \cdot \cos B = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
2. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) найдем AC по теореме Пифагора:
• \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]
• \[ AC^2 = 4^2 - (\frac{4}{3})^2 \]
• \[ AC^2 = 16 - \frac{16}{9} = \frac{16 \cdot 9 - 16}{9} = \frac{144 - 16}{9} = \frac{128}{9} \]
• \[ AC = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]
3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHK (угол H = 90°).
4. Мы знаем, что \[ \cos A = \frac{AH}{AK} \].
5. Нам нужно найти AK.
6. Угол A равен:
• \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{4} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
7. Теперь мы можем найти AK.
8. \[ AK = \frac{AH}{\cos A} \].
9. У нас не хватает данных для полного решения, так как неизвестно, что такое H и K, и их связь с треугольником ABC. Необходимо дополнительное условие или информация из рисунка 7.155.