1. Дано: призма ABC A₁B₁C₁; M ∈ AB. Постройте: а) точку пересечения прямой A₁M и плоскости (BB₁C₁); б) линию пересечения плоскостей (A₁MC₁) и (BB₁C₁); в) линию пересечения плоскостей (A₁MC₁) и (ABC); г) сечение призмы плоскостью (A₁MC₁).

Обозначим через P точку пересечения прямой A₁M с ребром BB₁, а через N — точку пересечения прямой, проведённой через M параллельно AC, с ребром BC.

1. Грани ABB₁A₁ и BB₁C₁C пересекаются по прямой BB₁. Поэтому искомая точка — P = A₁M ∩ BB₁.
2. Плоскости (A₁MC₁) и (BB₁C₁) имеют две общие точки: C₁ и P. Их линия пересечения — C₁P.
3. Плоскость (A₁MC₁) пересекает основание (ABC) по прямой MN, где MN ∥ AC.
4. Последовательно соединяем точки пересечения плоскости с гранями призмы: M–P на грани ABB₁A₁, P–C₁ на грани BB₁C₁C, C₁–A₁ на верхнем основании, A₁–N на грани AA₁C₁C и N–M на основании ABC. Сечение — пятиугольник M–P–C₁–A₁–N.

Ответ: а) P; б) C₁P; в) MN, где MN ∥ AC; г) пятиугольник M–P–C₁–A₁–N.