1) Дано: прямоугольник ABCD, точка M лежит на BC, AB = BM. Докажите, что AM — биссектриса ∠BAD.

Так как ABCD — прямоугольник, то ∠ABM = 90° и ∠BAD = 90°.

В треугольнике ABM катеты равны: AB = BM. Поэтому он равнобедренный прямоугольный, а его острые углы равны:

∠BAM = ∠AMB = (180° − 90°) : 2 = 45°.

Следовательно, ∠MAD = ∠BAD − ∠BAM = 90° − 45° = 45°. Значит, ∠BAM = ∠MAD, поэтому AM — биссектриса ∠BAD.

Ответ: AM — биссектриса ∠BAD.