1. Даны координаты точек A(1; −1; −4), B(−3; −1; 0), C(−1; 2; 5), D(2; −3; 1). Найти косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

1. Даны координаты точек A(1; −1; −4), B(−3; −1; 0), C(−1; 2; 5), D(2; −3; 1). Найти косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\).

Accepted Answer

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1;\,-1-(-1);\,0-(-4))=(-4;0;4)\).

\(\overrightarrow{CD}=D-C=(2-(-1);\,-3-2;\,1-5)=(3;-5;-4)\).

Скалярное произведение векторов: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-4)\cdot3+0\cdot(-5)+4\cdot(-4)=-28\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+4^2}=4\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}\).

По формуле косинуса угла между векторами:

\[\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CD}|}=\frac{-28}{4\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}}=-\frac{7}{10}.\]

Ответ: \(\cos\varphi=-\frac{7}{10}\).