№ 1. Даны плоскости α(ABC) и β(MA₁K). 1) MA₁; 2) A₁K; 3) A₁K ∩ AB = P (P ∈ α); 4) A₁M ∩ AB = N (N ∈ α, β); 5) NP; вывод: α ∩ β = NP.

Проверим построение по записанным принадлежностям.

1. Прямая A₁M лежит в плоскости β, поскольку обе её точки принадлежат β. Прямая AB лежит в α.
2. По условию N = A₁M ∩ AB, поэтому N принадлежит обеим плоскостям.
3. Прямая A₁K лежит в β. Если P = A₁K ∩ AB, то P также принадлежит α и β.
4. Две различные общие точки N и P определяют линию пересечения плоскостей.

Ответ: если N и P различны и точки заданы именно так, то α ∩ β = NP.