1. Даны точки A(3; −1; 2) и B(2; 1; −4). а) Найдите координаты точки D, если: A — середина отрезка BD; B — середина отрезка AD. б) Сравните модули векторов AC и BC, если: C(1; 5; −2); C(−4; 3; 2). в) Найдите вектор: ½(BA + BC); ½(AC + AB). г) На оси x найдите точку M такую, что треугольник ABM — прямоугольный с гипотенузой AM; с гипотенузой BM.

Если A — середина BD, то D = 2A − B = (6; −2; 4) − (2; 1; −4) = (4; −3; 8).

Если B — середина AD, то D = 2B − A = (4; 2; −8) − (3; −1; 2) = (1; 3; −10).

При C(1; 5; −2): AC = (−2; 6; −4), BC = (−1; 4; 2). Поэтому |AC| = √56, |BC| = √21, и |AC| > |BC|.

При C(−4; 3; 2): AC = (−7; 4; 0), BC = (−6; 2; 6). Поэтому |AC| = √65, |BC| = √76, и |AC| < |BC|.

½(BA + BC) = ½((1; −2; 6) + (−1; 4; 2)) = (0; 1; 4).

Для C(−4; 3; 2): ½(AC + AB) = ½((−7; 4; 0) + (−1; 2; −6)) = (−4; 3; −3).

Пусть M = (x; 0; 0). Если гипотенуза AM, то прямой угол при B: AB · BM = 0. Здесь AB = (−1; 2; −6), BM = (x − 2; −1; 4), поэтому −x − 24 = 0 и x = −24. Значит, M(−24; 0; 0).

Если гипотенуза BM, то прямой угол при A: AB · AM = 0. AM = (x − 3; 1; −2), поэтому −x + 17 = 0 и x = 17. Значит, M(17; 0; 0).