1. Даны точки A(5; 0; 2), B(4; −3; 2), C(0; 0; 1), D(2; −4; −4). Найдите: а) координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\); б) координаты векторов \(\vec a=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\), \(\vec b=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}\), \(\vec c=-\frac13\overrightarrow{AB}\); в) длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\); г) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), \(\vec a\) и \(\vec b\).

а) Координаты вектора находим вычитанием координат начала из координат конца:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(4-5;\,-3-0;\,2-2)=(-1;\,-3;\,0)\).

\(\overrightarrow{CD}=D-C=(2-0;\,-4-0;\,-4-1)=(2;\,-4;\,-5)\).

б) Складываем и вычитаем соответствующие координаты:

\(\vec a=(-1+2;\,-3-4;\,0-5)=(1;\,-7;\,-5)\).

\(\vec b=(-1-2;\,-3-(-4);\,0-(-5))=(-3;\,1;\,5)\).

Умножаем каждую координату \(\overrightarrow{AB}\) на \(-\frac13\): \(\vec c=(\frac13;\,1;\,0)\).

в) Длина вектора с координатами \((x;y;z)\) равна \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\):

\(|\vec a|=\sqrt{1^2+(-7)^2+(-5)^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\).

\(|\vec b|=\sqrt{(-3)^2+1^2+5^2}=\sqrt{35}\).

г) Скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-1)\cdot2+(-3)\cdot(-4)+0\cdot(-5)=10\).

\(\vec a\cdot\vec b=1\cdot(-3)+(-7)\cdot1+(-5)\cdot5=-35\).

Ответ: \(\overrightarrow{AB}=(-1;−3;0)\), \(\overrightarrow{CD}=(2;−4;−5)\); \(\vec a=(1;−7;−5)\), \(\vec b=(−3;1;5)\), \(\vec c=(\frac13;1;0)\); \(|\vec a|=5\sqrt3\), \(|\vec b|=\sqrt{35}\); скалярные произведения равны 10 и −35.