1) Даны точки A(9; 3; −5), B(2; 10; −5), C(2; 3; 2). Докажите, что треугольник равносторонний. Найдите его периметр.

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками в пространстве.

\(AB=\sqrt{(2-9)^2+(10-3)^2+(-5+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt2.\)

\(AC=\sqrt{(2-9)^2+(3-3)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt2.\)

\(BC=\sqrt{(2-2)^2+(3-10)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt2.\)

Все три стороны равны, следовательно, треугольник равносторонний. Его периметр: \(P=3\cdot7\sqrt2=21\sqrt2.\)

Ответ: треугольник равносторонний; \(P=21\sqrt2\).