1. Дать определение расстояния от точки до прямой. Показать на рисунках. 2. Сформулируйте и докажите свойство серединного перпендикуляра отрезка. 3. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найти две другие стороны треугольника.

1. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую, называется основанием перпендикуляра.

2. Свойство серединного перпендикуляра отрезка

Свойство: Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

1. Пусть дан отрезок AB, и точка O — середина этого отрезка. Проведем прямую L, перпендикулярную AB в точке O. Это и есть серединный перпендикуляр.
2. Возьмем произвольную точку P на прямой L.
3. Рассмотрим треугольники APO и BPO.
• PO — общая сторона.
• AO = BO (по условию, O — середина AB).
• \( igtriangleup APO = igtriangleup BPO \) (по двум сторонам и углу между ними, так как \( igangle AOP = igangle BOP = 90^\text{o} \)).
4. Из равенства треугольников следует, что AP = BP.
5. Значит, любая точка P на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка AB.

3. Решение задачи

Дано:

• Треугольник ABC.
• Внешние углы при вершинах A и B равны: \( igangle ext_A = igangle ext_B \).
• Периметр \( P = 74 \) см.
• Одна из сторон (например, AB) \( c = 16 \) см.

Найти: Две другие стороны (a и b).

Решение:

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов.
2. \( igangle ext_A = igangle B + igangle C \)
3. \( igangle ext_B = igangle A + igangle C \)
4. Так как \( igangle ext_A = igangle ext_B \), то \( igangle B + igangle C = igangle A + igangle C \).
5. Вычитая \( igangle C \) из обеих частей равенства, получаем \( igangle B = igangle A \).
6. Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны равны. Следовательно, стороны, противолежащие углам A и B, равны: \( a = b \).
7. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \( P = a + b + c \).
8. Подставим известные значения: \( 74 = a + a + 16 \) (так как \( a = b \)).
9. \( 74 = 2a + 16 \)
10. \( 2a = 74 - 16 \)
11. \( 2a = 58 \)
12. \( a = \frac{58}{2} \)
13. \( a = 29 \) см.
14. Так как \( a = b \), то \( b = 29 \) см.

Ответ: Две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.