1. Дайте определение касательной к окружности. 2. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника. 3. Отрезки МРи МК соответственно хорда и диаметр окружности с центром О, <РОК=84°. Найдите <МPO.

1. Определение касательной к окружности:

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

2. Теорема о внешнем угле треугольника:

Формулировка: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Доказательство:

1. Пусть у нас есть треугольник ABC. Угол ACD — внешний угол при вершине C.
2. Углы ACB и ACD смежные, значит, их сумма равна 180°: \( \angle ACB + \angle ACD = 180^{\circ} \).
3. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
4. Из второго равенства выразим \( \angle ACB \): \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC \).
5. Подставим это выражение в первое равенство: \( (180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC) + \angle ACD = 180^{\circ} \).
6. Упростим: \( \angle ACD = \angle BAC + \angle ABC \).
7. Что и требовалось доказать.

3. Решение задачи:

Дано: Окружность с центром О. МР — хорда, МК — диаметр. \( \angle ROK = 84^{\circ} \).

Найти: \( \angle MPO \).

Решение:

1. Угол ROK — центральный угол, опирающийся на дугу RK. Следовательно, дуга RK равна 84°. \( \text{arc} RK = 84^{\circ} \).
2. Угол MRK — вписанный угол, опирающийся на дугу MK. Так как MK — диаметр, дуга MK равна 180°.
3. Угол MRO — центральный угол, опирающийся на дугу MO. Так как MK — диаметр, дуга MK = 180°.
4. Угол MPO — это угол в треугольнике MPO. Треугольник MPO является равнобедренным, так как MO и PO — радиусы окружности.
5. Найдём угол RMO. Он опирается на дугу RO. Дуга RO = дуга RK = 84°.
6. Угол MRO — центральный, поэтому \( \angle RMO = \frac{1}{2} \text{arc} RO = \frac{1}{2} \cdot 84^{\circ} = 42^{\circ} \). (Это неверно, т.к. RMO не центральный)
7. Переформулируем: Рассмотрим треугольник MPO. MO = PO (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle MPO = \angle PMO \).
8. Угол ROK — центральный, \( \angle ROK = 84^{\circ} \).
9. Угол POR — развёрнутый, \( \angle POR = 180^{\circ} \).
10. \( \angle MPO \) является углом при основании равнобедренного треугольника MPO.
11. Найдём \( \angle MRO \). \( \angle ROK = 84^{\circ} \).
12. Рассмотрим треугольник ROK. RO = OK (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle ORK = \angle RKO = \frac{180^{\circ} - 84^{\circ}}{2} = \frac{96^{\circ}}{2} = 48^{\circ} \).
13. Так как MK — диаметр, \( \angle MRK = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).
14. В треугольнике MRK: \( \angle RMK + \angle MKR + \angle MRK = 180^{\circ} \). \( \angle MKR = \angle MKO \).
15. Рассмотрим треугольник MKO. MO = KO (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle KMO = \angle MKO \).
16. Угол ROK = 84°. Угол MOR = 180° - 84° = 96° (так как MK - диаметр, угол MOR развернутый)
17. В треугольнике MPO: MO = PO (радиусы). \( \angle MPO = \angle PMO \).
18. \( \angle MPO = \frac{180^{\circ} - \angle ROK}{2} \) - это неверно, т.к. ROK не является углом при вершине равнобедренного треугольника MPO.
19. Угол MPO вписан и опирается на дугу MO. Центральный угол, опирающийся на дугу MO, равен \( 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ} \).
20. Тогда \( \angle MPO = \frac{1}{2} \angle MO? \) - Неверно. \( \angle MPO \) опирается на дугу MO.
21. Центральный угол, опирающийся на дугу MO, равен \( 180^{\circ} - \angle ROK = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ} \).
22. Угол MPO — вписанный угол, опирающийся на дугу MO. \( \angle MPO = \frac{1}{2} \text{arc} MO = \frac{1}{2} \text{arc} KO \).
23. \( \text{arc} KO = 84^{\circ} \).
24. \( \angle MPO = \frac{1}{2} \text{arc} KO = \frac{1}{2} \times 84^{\circ} = 42^{\circ} \).

Ответ: