1) $\dfrac{3-x}{x^3-8}+\dfrac{x-2}{4+2x+x^2}$; 2) $\dfrac{4-a}{1-a+a^2}+\dfrac{a-5}{a^3+1}$; 3) $\dfrac{6}{3+n}-\dfrac{n^2-1}{n^3+27}$; 4) $\dfrac{b^2-4}{b^3+8}-\dfrac{3}{2+b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) $\dfrac{3-x}{x^3-8}+\dfrac{x-2}{4+2x+x^2}$; 2) $\dfrac{4-a}{1-a+a^2}+\dfrac{a-5}{a^3+1}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, приводим дроби к общему знаменателю:
\[\frac{3-x}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{x^2-5x+7}{(x-2)(x^2+2x+4)},\quad x\ne2.\]
Используем разложение $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$:
\[\frac{(4-a)(a+1)+(a-5)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{-a^2+4a-1}{(a+1)(a^2-a+1)},\quad a\ne-1.\]
Разложим сумму кубов: $n^3+27=(n+3)(n^2-3n+9)$. Тогда
\[\frac{6(n^2-3n+9)-(n^2-1)}{(n+3)(n^2-3n+9)}=\frac{5n^2-18n+55}{(n+3)(n^2-3n+9)},\quad n\ne-3.\]
Разложим: $b^2-4=(b-2)(b+2)$, $b^3+8=(b+2)(b^2-2b+4)$. После приведения к общему знаменателю:
\[\frac{(b-2)(b+2)-3(b^2-2b+4)}{(b+2)(b^2-2b+4)}=\frac{-2b^2+6b-16}{(b+2)(b^2-2b+4)},\quad b\ne-2.\]

1) \(\dfrac{3-x}{x^3-8}+\dfrac{x-2}{4+2x+x^2}\); 2) \(\dfrac{4-a}{1-a+a^2}+\dfrac{a-5}{a^3+1}\); 3) \(\dfrac{6}{3+n}-\dfrac{n^2-1}{n^3+27}\); 4) \(\dfrac{b^2-4}{b^3+8}-\dfrac{3}{2+b}\).