1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с его сторонами углы \(\angle ABD = 65^\circ\) и \(\angle BDC = 80^\circ\).

Так как AB || CD, то \(\angle ABD = \angle BDC = 80^\circ\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

Но по условию \(\angle ABD = 65^\circ\).

Значит, предположение, что \(\angle ABD = 65^\circ\) и \(\angle BDC = 80^\circ\) неверно.

Рассмотрим углы, которые диагональ BD образует со сторонами AB и AD.

Пусть \(\angle ABD = 65^\circ\) и \(\angle ADB = 80^\circ\). Эти углы находятся в треугольнике ABD.

Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

\(\angle BAD = 180^\circ - (65^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ\).

В параллелограмме противоположные углы равны, значит \(\angle BCD = \angle BAD = 35^\circ\).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).

\(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\).

\(\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\).

Углы параллелограмма равны \(35^\circ, 145^\circ, 35^\circ, 145^\circ\). Меньший угол равен \(35^\circ\).

Примечание: Если бы \(\angle CDB = 65^\circ\) и \(\angle DBA = 80^\circ\), то \(\angle ADB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\). Тогда \(\angle DAB = 180^\circ - (65^\circ + 100^\circ) = 15^\circ\). Это также является возможным решением.

Ответ: 35