1. Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. 2. Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. 3. Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Задание 1. Угол между диагоналями прямоугольника

Дано:

• Угол между диагональю и стороной прямоугольника: \( \alpha = 74^\circ \).

Найти: острый угол между диагоналями прямоугольника.

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( d \) - длина диагонали, \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и сторонами, углы при диагонали будут \( 74^\circ \) и \( 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \).
2. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и стороной прямоугольника. Углы при основании (стороне прямоугольника) равны \( 16^\circ \).
3. Третий угол этого треугольника (угол между диагоналями) равен \( 180^\circ - (16^\circ + 16^\circ) = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \).
4. Углы между диагоналями могут быть как тупыми, так и острыми. Нам нужен острый угол. Если один угол равен \( 148^\circ \), то смежный с ним угол будет \( 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \).

Ответ: 32°.

Задание 2 и 3. Меньший угол ромба

Дано:

• Один из углов ромба: \( 99^\circ \).

Найти: меньший угол ромба.

Решение:

1. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \).
2. Если один угол ромба равен \( 99^\circ \), то противоположный ему угол тоже равен \( 99^\circ \).
3. Два других угла ромба будут равны \( 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ \).
4. Сравнивая углы \( 99^\circ \) и \( 81^\circ \), видим, что меньший угол равен \( 81^\circ \).

Ответ: 81°.