1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, точка H — середина отрезка AM. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{MH}=k\overrightarrow{AC}\); в) \(\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AC}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC}\). Следовательно, в пункте а) \(k=\frac12\).

Так как H — середина AM, точки A, H, M лежат на диагонали AC, причём вектор \(\overrightarrow{MH}\) направлен противоположно \(\overrightarrow{AC}\) и составляет четверть его длины: \(\overrightarrow{MH}=-\frac14\overrightarrow{AC}\). Поэтому в пункте б) \(k=-\frac14\).

Точка M лежит на диагонали DB, значит, \(\overrightarrow{DM}\) направлен вдоль DB. В невырожденном параллелограмме диагонали AC и DB не параллельны, поэтому \(\overrightarrow{DM}\) нельзя представить как число, умноженное на \(\overrightarrow{AC}\).

Ответ: а) \(k=\frac12\); б) \(k=-\frac14\); в) такого числа k нет.