1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABD = 30°. 2) В параллелограмме KLMN проведена биссектриса угла, которая пересекает сторону KN в точке E. а) Докажите, что треугольник KLE равнобедренный. б) Найдите стороны KL и KN параллелограмма, если MN = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

1) В прямоугольном треугольнике ABD угол при A прямой, поэтому

∠ADB = 90° − ∠ABD = 90° − 30° = 60°.

Диагонали прямоугольника симметричны относительно его оси, перпендикулярной стороне AB; поэтому меньший угол между диагоналями вдвое больше угла между диагональю BD и стороной AB: 2 · 30° = 60°.

Ответ: меньший угол между диагоналями равен 60°.

2) В условии не указано, биссектрисой какого угла параллелограмма является луч LE; при обычном прочтении — биссектриса угла L. Тогда LE делит угол KLM пополам. Поскольку KN ∥ LM, накрест лежащие углы ∠LEK и ∠ELM равны. А ∠ELM = ∠KLE по определению биссектрисы. Следовательно, ∠LEK = ∠KLE, и противоположные им стороны равны: KE = KL. Значит, треугольник KLE равнобедренный.

В параллелограмме противоположные стороны равны: KL = MN = 10 см. Из периметра 2(KL + KN) = 52 получаем KL + KN = 26, поэтому KN = 26 − 10 = 16 см.

Ответ: KL = 10 см, KN = 16 см.