1. Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 12 см², 24 см² и 36 см². Найдите площадь четвёртого треугольника. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?

Обозначим площади четырёх треугольников вокруг точки пересечения диагоналей по кругу как \(S_1, S_2, S_3, S_4\). Треугольники, расположенные напротив друг друга, удовлетворяют равенству \(S_1S_3=S_2S_4\): у них площади выражаются через произведения отрезков диагоналей, а высоты к каждой диагонали общие.

Значит, площадь неизвестного треугольника зависит от того, какое из трёх известных значений расположено напротив него. Любое из значений 12, 24 и 36 может быть этим противоположным треугольником; оставшиеся два образуют другую пару противоположных треугольников.

Поэтому в задаче есть 3 варианта ответа.

Ответ: 3 варианта.