1. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Точка M — середина ребра BC, точка L — середина ребра AB. а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A. б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

Введём координаты вершин правильного тетраэдра со стороной 1:

\(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0)\), \(D=(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23})\). Тогда \(M=(\frac34,\frac{\sqrt3}{4},0)\), а направление прямой \(CL\), где \(L=(\frac12,0,0)\), задаёт вектор \(\overrightarrow{CL}=(0,-\frac{\sqrt3}{2},0)\).

а) Плоскость через прямую \(DM\), параллельная \(CL\), состоит из точек вида \(D+u(M-D)+v\overrightarrow{CL}\). Чтобы такая точка лежала на прямой \(AB\), её третья координата должна быть нулевой. Она равна \(\sqrt{\frac23}(1-u)\), поэтому \(u=1\). Первая координата тогда равна \(\frac12+\frac14=\frac34\). Подбором \(v\) можно сделать вторую координату нулевой, следовательно, точка пересечения плоскости с \(AB\) имеет координаты \(P=(\frac34,0,0)\).

Значит, \(AP=\frac34\), \(PB=\frac14\), поэтому \(AP:PB=3:1\).

б) Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{DM}=(\frac14,\frac{\sqrt3}{12},-\sqrt{\frac23})\) и \(\overrightarrow{CL}=(0,-\frac{\sqrt3}{2},0)\). Их скалярное произведение равно \(-\frac18\), а длины обоих векторов равны \(\frac{\sqrt3}{2}\). Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому его косинус равен \(\frac{|{-1/8}|}{(\sqrt3/2)^2}=\frac16\).

Ответ: а) \(AP:PB=3:1\); б) угол между прямыми равен \(\arccos\frac16\).