1. Для функції на рисунку запишіть: 1.1 (1 б) Область визначення. 1.2 (1 б) Область значень. 1.3 (1 б) Нулі функції. 1.4 (1 б) Точки максимуму і мінімуму. 1.5 (1 б) Найбільше і найменше значення. 2) (2 б) Знайдіть проміжки зростання і спадання функції: f(x) = -3x² + 6x + 1 3) (2 б) Дослідіть точки екстремуму функції: f(x) = (x + 1)³(3 - x) 4) (3 б) Число 14 подайте у вигляді суми двох доданків так, щоб сума подвоєного одного з доданків і квадрата іншого була найменшою.

І Варіант

1. Для функції на рисунку запишіть:
   • 1.1 Область визначення: \( [-3; 6] \)
   • 1.2 Область значень: \( [-3; 4] \)
   • 1.3 Нулі функції: \( x = -1 \) і \( x = 3 \)
   • 1.4 Точки максимуму: \( x = -2 \) (значення \( y = 3 \) ), \( x = 5 \) (значення \( y = 4 \) ). Точки мінімуму: \( x = -3 \) (значення \( y = -1 \) ), \( x = 1 \) (значення \( y = 0 \) ), \( x = 4 \) (значення \( y = -3 \) ).
   • 1.5 Найбільше значення: \( 4 \) (при \( x=5 \) ). Найменше значення: \( -3 \) (при \( x=4 \) ).
2. Проміжки зростання і спадання функції \( f(x) = -3x^2 + 6x + 1 \):
   • Знайдемо похідну: \( f'(x) = -6x + 6 \).
   • Прирівняємо похідну до нуля: \( -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
   • Якщо \( x < 1 \), то \( f'(x) > 0 \) (функція зростає).
   • Якщо \( x > 1 \), то \( f'(x) < 0 \) (функція спадає).
3. Дослідження точок екстремуму функції \( f(x) = (x + 1)^3(3 - x) \):
   • Знайдемо похідну за правилом добутку: \( f'(x) = 3(x+1)^2(3-x) + (x+1)^3(-1) \).
   • Винесемо спільний множник \( (x+1)^2 \): \( f'(x) = (x+1)^2 [3(3-x) - (x+1)] \).
   • Спростимо вираз у квадратних дужках: \( 9 - 3x - x - 1 = 8 - 4x \).
   • Тоді \( f'(x) = (x+1)^2 (8 - 4x) \).
   • Прирівняємо похідну до нуля: \( (x+1)^2 (8 - 4x) = 0 \).
   • Це дає \( x = -1 \) (подвійний корінь) і \( x = 2 \).
   • Аналізуємо знак похідної:
     • При \( x < -1 \): \( f'(x) < 0 \) (функція спадає).
     • При \( -1 < x < 2 \): \( f'(x) > 0 \) (функція зростає).
     • При \( x > 2 \): \( f'(x) < 0 \) (функція спадає).
   • Отже, \( x = 2 \) є точкою максимуму. \( x = -1 \) є точкою перегину, а не екстремуму, оскільки знак похідної не змінюється.
4. Число 14 подати у вигляді суми двох доданків так, щоб сума подвоєного одного з доданків і квадрата іншого була найменшою.
   • Нехай число 14 подано як \( a + b \).
   • Нам потрібно мінімізувати вираз \( 2a + b^2 \) або \( a^2 + 2b \). Розглянемо перший варіант.
   • Якщо мінімізуємо \( 2a + b^2 \), де \( a + b = 14 \), то \( a = 14 - b \).
   • Підставимо: \( 2(14 - b) + b^2 = 28 - 2b + b^2 \).
   • Розглянемо функцію \( g(b) = b^2 - 2b + 28 \).
   • Знайдемо похідну: \( g'(b) = 2b - 2 \).
   • Прирівняємо до нуля: \( 2b - 2 = 0 \Rightarrow b = 1 \).
   • Тоді \( a = 14 - 1 = 13 \).
   • Перевіримо другий доданок: \( a^2 + 2b \), де \( a + b = 14 \), \( b = 14 - a \).
   • Підставимо: \( a^2 + 2(14 - a) = a^2 - 2a + 28 \).
   • Розглянемо функцію \( h(a) = a^2 - 2a + 28 \).
   • Знайдемо похідну: \( h'(a) = 2a - 2 \).
   • Прирівняємо до нуля: \( 2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 1 \).
   • Тоді \( b = 14 - 1 = 13 \).
   • Обидва варіанти дають однакову мінімальну суму, але різні доданків. Зазвичай, у таких задачах йдеться про один конкретний доданок. Якщо мова йде про «суму подвоєного одного з доданків», то це може означати \( 2a + b^2 \) або \( a + 2b^2 \) і т.д. Умову інтерпретуємо як мінімізацію \( 2a + b^2 \).
   • Доданків: 13 і 1.

Відповідь: 1.1. \( [-3; 6] \). 1.2. \( [-3; 4] \). 1.3. \( -1 \) і \( 3 \). 1.4. Максимуму: \( x = -2 \) (значення \( y = 3 \) ), \( x = 5 \) (значення \( y = 4 \) ). Мінімуму: \( x = -3 \) (значення \( y = -1 \) ), \( x = 1 \) (значення \( y = 0 \) ), \( x = 4 \) (значення \( y = -3 \) ). 1.5. Найбільше: \( 4 \), Найменше: \( -3 \). 2. Зростає на \( (-\infty; 1) \), спадає на \( (1; \infty) \). 3. \( x = 2 \) — точка максимуму. 4. Доданки 13 і 1.