1. Доказать: AB=AD, BC=CD. Дано: \(\angle\) ODC = 65^{\(\circ\)}. BD \(\perp\) AC. BO=OD.

Решение:

1. Доказываем, что \(\triangle AOD = \triangle COD\) и \(\triangle AOB = \triangle COB\):

1. \( AO = OC \) — общая сторона (по условию \( BD \perp AC \) и \( BO = OD \), что означает, что \( BD \) — серединный перпендикуляр к \( AC \)).
2. \( DO = BO \) — по условию.
3. \( \angle AOD = \angle COD \) — как вертикальные углы (или как углы, опирающиеся на равные дуги, если рассматривать окружность).
4. Следовательно, \(\triangle AOD = \triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует \( AD = CD \).
6. \( AO = OC \) — общая сторона.
7. \( \angle AOB = \angle COB \) — как вертикальные углы.
8. Следовательно, \(\triangle AOB = \triangle COB\) по двум сторонам и углу между ними.
9. Из равенства треугольников следует \( AB = CB \).

2. Находим \(\angle OBC\):

1. В \(\triangle ODC\) \( \angle ODC = 65^{\circ} \). \( \angle DOC = 90^{\circ} \) (по условию \( BD \perp AC \)).
2. Сумма углов в \(\triangle ODC\): \( \angle OCD + \angle ODC + \angle DOC = 180^{\circ} \).
3. \( \angle OCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).
4. В \(\triangle COB\) \( \angle BOC = 90^{\circ} \) (так как \( BD \perp AC \)).
5. \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \).
6. \( \angle OBC + 25^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
7. \( \angle OBC = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).

Ответ: Доказано, что \( AB = AD \) и \( BC = CD \). \(\angle OBC = 65^{\circ}\).