1. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. Сформулировать утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. 2. Сформулировать теорему обратную теореме Пифагора. Задачи: 1) Сторона квадрата равна 7см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. 2) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=11, CD=55, AC=30.

Решение:

1. Доказательство и утверждения о подобных треугольниках:

1. Доказательство: Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CD к гипотенузе AB.
• Рассмотрим треугольники ADC и ACB:
• Угол A — общий.
• Угол ADC = Угол ACB = 90° (по построению и условию).
• Следовательно, треугольник ADC подобен треугольнику ACB по двум углам (первый признак подобия).
• Рассмотрим треугольники CDB и ACB:
• Угол B — общий.
• Угол CDB = Угол ACB = 90° (по построению и условию).
• Следовательно, треугольник CDB подобен треугольнику ACB по двум углам (первый признак подобия).
• Так как треугольники ADC и CDB подобны одному и тому же треугольнику ACB, то они подобны и друг другу: треугольник ADC ~ треугольник CDB.

Вывод: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.

2. Утверждения о пропорциональных отрезках:
• Из подобия треугольников следуют соотношения:
• \[ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \implies AC^2 = AD \cdot AB \] (Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы).
• \[ \frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB} \implies BC^2 = BD \cdot AB \] (Другой катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы).
• \[ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} \implies CD^2 = AD \cdot BD \] (Высота, проведённая к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу).

2. Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Задачи:

1) Диаметр окружности, описанной около квадрата:

Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали этого квадрата.

Пусть сторона квадрата равна 'a'. Диагональ 'd' можно найти по теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$.

В данном случае, $$a = 7$$ см.

$$d^2 = 2 €œ (7 ext{ см})^2 = 2 €œ 49 ext{ см}^2 = 98 ext{ см}^2$$.

$$d = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$$ см.

Ответ: Диаметр окружности равен $$7\sqrt{2}$$ см.

2) Нахождение отрезка МС:

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Это означает, что треугольники ABM и CDM подобны (по двум углам, так как углы при вершине M равны как вертикальные, а накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих AC и BD равны).

Из подобия треугольников ABM и CDM следует:

\[ \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{CD} \]

Нам дано: AB = 11, CD = 55, AC = 30. Отрезок AC состоит из AM и MC: $$AC = AM + MC$$.

Используем отношение подобия для отрезков AB и CD:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{11}{55} = \frac{1}{5} \]

Теперь используем отношение подобия для отрезков AM и MC:

\[ \frac{AM}{MC} = \frac{1}{5} \]

Из этого следует, что $$AM = \frac{1}{5} MC$$.

Подставим это в уравнение $$AC = AM + MC$$:

\[ 30 = \frac{1}{5} MC + MC \]

\[ 30 = \frac{1}{5} MC + \frac{5}{5} MC \]

\[ 30 = \frac{6}{5} MC \]

Теперь выразим MC:

\[ MC = 30 €œ \frac{5}{6} \]

\[ MC = 5 €œ 5 \]

\[ MC = 25 \]

Ответ: МС = 25.