1. Доказать: если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы OAB и OCD равны, откуда AB ∥ CD.
3. Аналогично треугольники AOD и COB равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.