1) Доказать теорему: медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы (через удвоение медианы).

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а CM — медиана к гипотенузе AB. Тогда M — середина AB.

1. Продолжим медиану CM за точку M до точки D так, чтобы MD = CM. Значит, M — середина и отрезка CD.
2. В четырёхугольнике ACBD диагонали AB и CD пересекаются и делятся пополам в точке M. Поэтому ACBD — параллелограмм.
3. У параллелограмма угол ACB прямой, значит, ACBD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны: AB = CD.
4. Так как M — середина CD, CM = CD / 2. Следовательно, CM = AB / 2.

Ответ: медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.