1. Докажите, что для всех допустимых значениях а справедливы равенства: 1) (1 - sin a)(1 + sin a) = cos² a; 2) cos⁴ a - sin⁴ a = 1 - 2 sin² a.

Решение:

1. Докажем первое равенство:
   Используем формулу разности квадратов: \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
   По основному тригонометрическому тождеству, \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), следовательно, \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
   Таким образом, \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha \). Равенство доказано.
2. Докажем второе равенство:
   Представим \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha \) как разность квадратов: \( (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \).
   Поскольку \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), выражение упрощается до \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).
   Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \), подставим его в полученное выражение: \( (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \).
   Таким образом, \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \). Равенство доказано.