1. Докажите, что: $$\frac{b-a}{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} - \frac{\sqrt{b}}{b}$$

Решение:

Рассмотрим левую часть равенства:

\( \frac{b-a}{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}} \)

Разложим числитель как разность квадратов: \( b-a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a}) \).

Вынесем общий множитель \( \sqrt{a}\sqrt{b} \) из знаменателя: \( a\sqrt{b}+b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \).

Подставим полученные выражения в дробь:

\( \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \)

Сократим общий множитель \( (\sqrt{b}+\sqrt{a}) \):

\( \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} \)

Упростим:

\( \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \)

Приведём к общему знаменателю \( \sqrt{a}\sqrt{b} \) — этот шаг отменит предыдущее упрощение. Вместо этого, приведём к виду правой части:

\( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} \sqrt{b}}{b \sqrt{a}} \) — это не верно.

Вернёмся к \( \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \).

Чтобы получить правую часть \( \frac{\sqrt{a}}{a} - \frac{\sqrt{b}}{b} \), нужно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{a} \) в первом слагаемом и на \( \sqrt{b} \) во втором:

\( \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{a} - \frac{\sqrt{b}}{b} \)

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.