1. Докажите, что функция F(x)=4/x - 1/3 есть первообразная для функции f(x) = -4/x^2 на промежутке (0; ∞).

Решение:

Чтобы доказать, что функция \( F(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{3} \) является первообразной для функции \( f(x) = -\frac{4}{x^2} \) на промежутке \( (0; \infty) \), нужно найти производную от \( F(x) \) и проверить, равна ли она \( f(x) \).

Производная функции \( F(x) \):

\[ F'(x) = \left( \frac{4}{x} - \frac{1}{3} \right)' \]\[ F'(x) = \left( 4x^{-1} - \frac{1}{3} \right)' \]\[ F'(x) = 4 \cdot (-1) x^{-1-1} - 0 \]\[ F'(x) = -4x^{-2} \]\[ F'(x) = -\frac{4}{x^2} \]

Мы получили, что \( F'(x) = -\frac{4}{x^2} \), что совпадает с функцией \( f(x) \).

Ответ: Производная от \( F(x) \) равна \( f(x) \), следовательно, \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) на промежутке \( (0; \infty) \).