1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Билет № 16 На каком вершины. угольника c00

Решение:

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \), \( BN \), \( CK \) — медианы.

Доказать: \( AM \cap BN \cap CK = O \) и \( AO:OM = BO:ON = CO:OK = 2:1 \).

Доказательство:

1. Проведём две медианы \( AM \) и \( BN \). Они пересекаются в точке \( O \).
2. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle ABC \).
3. Пусть \( P \) — середина \( AB \). Соединим \( P \) с \( O \) и \( N \) (середина \( AC \)).
4. \( PN \) — средняя линия \( \triangle ABM \) (так как \( P \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( BC \)). Следовательно, \( PN \parallel AM \) и \( PN = \frac{1}{2} AM \).
5. Аналогично, \( PO \) — средняя линия \( \triangle ABM \) (так как \( P \) — середина \( AB \), \( O \) — середина \( BN \)). Следовательно, \( PO \parallel AM \) и \( PO = \frac{1}{2} AM \).
6. Из \( PN –— \) средняя линия \( Δ ABM \) и \( PN –— \) средняя линия \( Δ ABC \).
7. \( PN –— \) средняя линия \( Δ ABM \), \( PO –— \) средняя линия \( Δ ABC \).
8. \( PN –— \) средняя линия \( Δ ABM \) и \( Δ BNC \).
9. Рассмотрим \( Δ ABO \) и \( Δ PNO \). \( Δ ABO … Δ PNO \) (по двум углам: \( ∠ BAO = ∠ NPO \) как накрест лежащие при \( AM –— \) параллельных \( PN \) и секущей \( AB \); \( ∠ ABO = ∠ PON \) как накрест лежащие при \( BN –— \) параллельных \( PO \) и секущей \( BN \)).
10. Из подобия следует \( \frac{AO}{PO} = \frac{BO}{NO} = \frac{AB}{PN} = 2 \).
11. Отсюда \( AO = 2 PO \) и \( BO = 2 NO \).
12. Так как \( AM = AO + OM \) и \( AM = AO + PO \), то \( AO + OM = AO + PO \), следовательно \( OM = PO \).
13. Тогда \( AM = AO + OM = 2 PO + PO = 3 PO \).
14. Значит, \( AO = 2 PO = 2 OM \).
15. Таким образом, \( AO:OM = 2:1 \) и \( BO:ON = 2:1 \).
16. Аналогично доказывается, что третья медиана \( CK \) проходит через точку \( O \) и \( CO:OK = 2:1 \).

Вывод: Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.