1. Докажите, что при любом значении а верно неравенство:

Решение:

А. 1) \( 3(a+1)+a-4(2+a) < 0 \)
Раскроем скобки: \( 3a + 3 + a - 8 - 4a < 0 \)
Приведём подобные слагаемые: \( (3a + a - 4a) + (3 - 8) < 0 \)
\( 0a - 5 < 0 \)
\( -5 < 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

А. 2) \( (a-2)^2 - a(a-4) > 0 \)
Раскроем скобки: \( (a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4a) > 0 \)
\( a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a > 0 \)
\( 4 > 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

А. 3) \( (7a-1)(7a+1) < 49a^2 \)
Раскроем скобки (разность квадратов): \( 49a^2 - 1 < 49a^2 \)
Вычтем \( 49a^2 \) из обеих частей: \( -1 < 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

А. 4) \( a^2+15a+56 > a(a+15) \)
Раскроем скобки: \( a^2 + 15a + 56 > a^2 + 15a \)
Вычтем \( a^2 + 15a \) из обеих частей: \( 56 > 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

Б. 1) \( \frac{(1+a)^2}{2} \ge 2a \)
Умножим обе части на 2: \( (1+a)^2 \ge 4a \)
Раскроем скобки: \( 1 + 2a + a^2 \ge 4a \)
Перенесём \( 4a \) в левую часть: \( 1 + 2a + a^2 - 4a \ge 0 \)
\( a^2 - 2a + 1 \ge 0 \)
Свернём по формуле квадрата разности: \( (a-1)^2 \ge 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Б. 2) \( a + \frac{1}{a} \ge 2 \) при \( a > 0 \)
Умножим обе части на \( a \) (так как \( a > 0 \), знак неравенства не меняется): \( a^2 + 1 \ge 2a \)
Перенесём \( 2a \) в левую часть: \( a^2 - 2a + 1 \ge 0 \)
Свернём по формуле квадрата разности: \( (a-1)^2 \ge 0 \)
Это неравенство верно при любом \( a > 0 \).

Б. 3) \( 4a^2+1 \ge 4a \)
Перенесём \( 4a \) в левую часть: \( 4a^2 - 4a + 1 \ge 0 \)
Свернём по формуле квадрата разности: \( (2a-1)^2 \ge 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

Б. 4) \( a^2+2a \ge -1 \)
Перенесём \( -1 \) в левую часть: \( a^2 + 2a + 1 \ge 0 \)
Свернём по формуле квадрата суммы: \( (a+1)^2 \ge 0 \)
Это неравенство верно при любом значении \( a \).

В. \( 1+2a^4 \ge a^2+2a^3 \)
Перенесём все слагаемые в левую часть: \( 1 + 2a^4 - a^2 - 2a^3 \ge 0 \)
Приведём в порядок: \( 2a^4 - 2a^3 - a^2 + 1 \ge 0 \)
Сгруппируем слагаемые: \( 2a^3(a-1) - (a^2-1) \ge 0 \)
\( 2a^3(a-1) - (a-1)(a+1) \ge 0 \)
Вынесем общий множитель \( (a-1) \): \( (a-1)(2a^3 - (a+1)) \ge 0 \)
\( (a-1)(2a^3 - a - 1) \ge 0 \)
Разложим \( 2a^3 - a - 1 \) на множители. Заметим, что при \( a=1 \) выражение равно \( 2(1)^3 - 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 \), значит \( (a-1) \) является множителем. Разделим \( 2a^3 - a - 1 \) на \( (a-1) \) столбиком или методом неопределённых коэффициентов: \( 2a^3 - a - 1 = (a-1)(2a^2+2a+1) \).
Тогда неравенство примет вид: \( (a-1)(a-1)(2a^2+2a+1) \ge 0 \)
\( (a-1)^2 (2a^2+2a+1) \ge 0 \)
Квадратный трёхчлен \( 2a^2+2a+1 \) имеет дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( a^2 \) (равный 2) положительный, то \( 2a^2+2a+1 > 0 \) для любого \( a \).
Следовательно, неравенство \( (a-1)^2 (2a^2+2a+1) \ge 0 \) верно, так как \( (a-1)^2 \ge 0 \) и \( 2a^2+2a+1 > 0 \).