1. Докажите, что при любом значении а верно неравенство: A. 1) 3(a+1)+a-4(2+a)<0; 2) (a-2)²-a(a-4)>0; 3) (7a-1)(7a+1)<49a²; 4) a²+15a+56>a(a+15). Б. 1) (1+a²) / 2 ≥ 2a; 2) a + 1/a ≥ 2 при a>0; 3) 4a²+1≥4a; 4) a²+2a≥-1. B. 1+2a⁴≥a²+2a³.

Решение:

A. 1) \( 3(a+1)+a-4(2+a) < 0 \)
\( 3a+3+a-8-4a < 0 \)
\( -5 < 0 \)
Верно.

A. 2) \( (a-2)^2 - a(a-4) > 0 \)
\( a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a > 0 \)
\( 4 > 0 \)
Верно.

A. 3) \( (7a-1)(7a+1) < 49a^2 \)
\( 49a^2 - 1 < 49a^2 \)
\( -1 < 0 \)
Верно.

A. 4) \( a^2+15a+56 > a(a+15) \)
\( a^2+15a+56 > a^2+15a \)
\( 56 > 0 \)
Верно.

Б. 1) \( \frac{1+a^2}{2} \geq 2a \)
\( 1+a^2 \geq 4a \)
\( a^2 - 4a + 1 \geq 0 \)
Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \).
\( \sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
Корни: \( a_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \), \( a_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \).
Парабола \( y = a^2 - 4a + 1 \) ветвями вверх, поэтому \( a^2 - 4a + 1 \geq 0 \) при \( a \leq 2 - \sqrt{3} \) и \( a \geq 2 + \sqrt{3} \). Неверно для всех \( a \).

Б. 2) \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \) при \( a > 0 \)
\( \frac{a^2+1}{a} \geq 2 \)
\( a^2+1 \geq 2a \) (так как \( a > 0 \))
\( a^2 - 2a + 1 \geq 0 \)
\( (a-1)^2 \geq 0 \)
Верно.

Б. 3) \( 4a^2+1 \geq 4a \)
\( 4a^2 - 4a + 1 \geq 0 \)
\( (2a-1)^2 \geq 0 \)
Верно.

Б. 4) \( a^2+2a \geq -1 \)
\( a^2+2a+1 \geq 0 \)
\( (a+1)^2 \geq 0 \)
Верно.

B. 1) \( 1+2a^4 \geq a^2+2a^3 \)
\( 2a^4 - 2a^3 - a^2 + 1 \geq 0 \)
\( 2a^3(a-1) - (a^2-1) \geq 0 \)
\( 2a^3(a-1) - (a-1)(a+1) \geq 0 \)
\( (a-1)(2a^3 - a - 1) \geq 0 \).
Пусть \( P(a) = 2a^3 - a - 1 \). \( P(1) = 2 - 1 - 1 = 0 \). Значит, \( a-1 \) — множитель.
\( 2a^3 - a - 1 = (a-1)(2a^2+2a+1) \).
Дискриминант \( 2a^2+2a+1 \) равен \( 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0 \). Так как коэффициент при \( a^2 \) положителен, то \( 2a^2+2a+1 > 0 \) для всех \( a \).
Получаем \( (a-1)(a-1)(2a^2+2a+1) \geq 0 \)
\( (a-1)^2 (2a^2+2a+1) \geq 0 \).
Так как \( (a-1)^2 \geq 0 \) и \( 2a^2+2a+1 > 0 \), то неравенство верно для всех \( a \).

Ответ: Доказано.