1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC медиана CM, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть угол C прямой, а M — середина гипотенузы AB. Проведём рассуждение через окружность с центром в середине гипотенузы.

1. Так как M — середина AB, то MA = MB.
2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы. Действительно, точка M равноудалена от A, B и C.
3. Следовательно, MA = MB = MC. Поскольку AB = MA + MB = 2MC, получаем CM = AB/2.

Что и требовалось доказать.