1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а CM — медиана к гипотенузе AB. Тогда M — середина AB.

1. Продлим CM за точку M до точки D так, чтобы MD = MC. Тогда M — середина и отрезка CD.
2. В четырёхугольнике ACBD диагонали AB и CD пересекаются и делятся пополам в точке M. Значит, ACBD — параллелограмм.
3. Так как ∠ACB = 90°, параллелограмм ACBD является прямоугольником. У прямоугольника диагонали равны, поэтому AB = CD.
4. По построению CD = CM + MD = 2CM. Следовательно, AB = 2CM, откуда CM = AB/2.

Ответ: медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.