1. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Решение:

Рассмотрим два равных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \). Пусть \( AB = A_1B_1 \), \( BC = B_1C_1 \), \( AC = A_1C_1 \) и \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle C = \angle C_1 \).

Пусть \( BH \) — высота, проведённая к стороне \( AC \) в \( \triangle ABC \), а \( B_1H_1 \) — высота, проведённая к стороне \( A_1C_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).

По условию, \( AC = A_1C_1 \). Нам нужно доказать, что \( BH = B_1H_1 \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle ABH \) и \( \triangle A_1B_1H_1 \).

У них:

• \( \angle AHB = \angle A_1H_1B_1 = 90^{\circ} \) (по определению высоты).
• \( \angle A = \angle A_1 \) (по условию равенства треугольников).
• \( AB = A_1B_1 \) (по условию равенства треугольников).

Следовательно, \( \triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1 \) по гипотенузе и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, в том числе \( BH = B_1H_1 \).

Таким образом, высоты, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны.

Доказано.