1. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) По условию \(\angle BAC=\angle ACD\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей AC, значит, \(AB\parallel CD\).

Также \(\angle BCA=\angle DAC\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей AC, значит, \(BC\parallel AD\).

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

б) Так как \(AB\parallel CD\), то накрест лежащие углы равны: \(\angle BAC=\angle ACD\).

По условию \(\angle A=\angle C\), то есть \(\angle DAB=\angle BCD\). Представим эти углы как суммы:

\(\angle DAB=\angle DAC+\angle CAB\),

\(\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD\).

Поскольку \(\angle CAB=\angle ACD\), из равенства углов A и C получаем \(\angle DAC=\angle BCA\).

Углы \(DAC\) и \(BCA\) — накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC. Следовательно, \(AD\parallel BC\).

Итак, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD является параллелограммом в обоих случаях.