1. Докажите неравенство: а) \((x+1)^2>x(x+2)\); б) \(a^2+1\ge 2(3a-4)\).

а)

Раскроем скобки:

\((x+1)^2=x^2+2x+1\), а \(x(x+2)=x^2+2x\).

Тогда неравенство принимает вид:

\[x^2+2x+1>x^2+2x\]

Вычтем \(x^2+2x\) из обеих частей:

\[1>0\]

Это верное неравенство при любом действительном значении \(x\).

б)

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\[a^2+1\ge 6a-8\]

\[a^2-6a+9\ge 0\]

Представим левую часть как квадрат разности:

\[(a-3)^2\ge 0\]

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно при любом действительном значении \(a\).

Ответ: а) неравенство верно при всех \(x\in\mathbb{R}\); б) неравенство верно при всех \(a\in\mathbb{R}\).