1. Докажите неравенство: а) \(x^2-2>2(2x-3)\); б) \(4(x^2-2)>4(3x-4)-1\); в) \(x(x-2)<(x-2)^2\).

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(x^2-2-4x+6>0\),
\(x^2-4x+4>0\),
\((x-2)^2>0\).

Квадрат числа положителен при \(x\ne2\), а при \(x=2\) он равен нулю. Поэтому исходное строгое неравенство выполняется только при \(x\ne2\). При \(x=2\) получаем равенство, поэтому доказать его для всех действительных \(x\) нельзя.

б) Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\(4x^2-8-12x+16+1>0\),
\(4x^2-12x+9>0\),
\((2x-3)^2>0\).

Следовательно, неравенство выполняется при \(2x-3\ne0\), то есть при \(x\ne\frac32\). При \(x=\frac32\) получается равенство.

в) Перенесём правую часть в левую:

\(x(x-2)-(x-2)^2<0\),
\((x-2)\bigl(x-(x-2)\bigr)<0\),
\(2(x-2)<0\).

Отсюда \(x<2\).

Ответ: а) \(x\ne2\); б) \(x\ne\frac32\); в) \(x<2\). Следовательно, все три записанных строгих неравенства не являются верными для всех действительных значений \(x\).