1) Докажите тождество: $\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) Докажите тождество: $\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}$.$ Фото задания

1) Докажите тождество: $\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $a\ne 0$, $b\ne 0$, $a\ne b$, $a\ne -b$.

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-ab=a(a-b),\quad b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b).$

Тогда выражение в первых скобках приводится к общему знаменателю:

$\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}=\frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}.$

Выполним деление на дробь, заменив его умножением на обратную:

$\frac{a-b}{ab}:\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4}{a+b}.$

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменных. Тождество доказано.

1) Докажите тождество: \(\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}\).

Ответ: