1. Допишите предложение: a) Окружностью называется множество <...> равноуде<...> от <...> данной точки <...> плоскости. б) Диаметр окружности – это <...> отрезок, <...> соединяющий <...> две точки <...> на окружности <...> и проходящий через ее <...> центр. <...> в) Сколько общих <...> точек может иметь <...> прямая и <...> окружность: <...> Окружность: 0, 1, 2, 3. 2. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 110°. < ACB: 3. Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол CBD равен 28°. Найдите угол AOD. 4. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 2√7. Найдите периметр квадрата ABCD. 0: 1: 2: 3:

1. Допишите предложение:

а) Окружностью называется множество точек, равноудаленных от одной данной точки на плоскости.

б) Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр.

в) Сколько общих точек может иметь прямая и окружность: 0, 1, 2.

2. Найдите угол АСВ.

Угол АСВ является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ. Центральный угол АОВ также опирается на дугу АВ. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \)

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \)

Ответ: \( 55^{\circ} \).

3. Найдите угол AOD.

Угол CBD равен 28°. Так как BD — диаметр, то угол BCD равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр). В треугольнике BCD: \( \angle BDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ} \).

Угол CAD равен углу CBD, так как они опираются на одну дугу CD. Нет, это неверно.

Угол BAC равен углу BDC = 62°, так как они опираются на дугу BC.

Так как AC — диаметр, то угол ABC равен 90°.

\( \angle ABD = 90^{\circ} - \angle CBD = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ} \).

Угол CAD равен углу ABD, так как они опираются на дугу AD. Нет, это неверно.

Рассмотрим треугольник BOC. \( \angle OBC = 28^{\circ} \). \( \angle OCB = 90^{\circ} - \angle BCD = 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \). Треугольник BOC равнобедренный (OB=OC), \( \angle BOC = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 28^{\circ} = 124^{\circ} \).

Угол AOD является вертикальным углом к углу BOC. Нет, это неверно.

Углы AOD и BOC — вертикальные углы. Нет, это неверно.

Угол AOD является смежным углом с углом BOC. Нет, это неверно.

Так как AC и BD — диаметры, они пересекаются в точке O. Углы AOD и BOC — вертикальные. Углы AOB и COD — вертикальные.

В треугольнике COD, \( \angle OCD = 90^{\circ} - \angle BCD = 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \). Нет, это неверно.

Рассмотрим треугольник BCD. \( \angle CBD = 28^{\circ} \). \( \angle BDC = 62^{\circ} \). \( \angle BCD = 90^{\circ} \).

В треугольнике COD: \( \angle ODC = \angle BDC = 62^{\circ} \). \( \angle OCD = \angle ACB \) — это неверно.

Угол BCD — вписанный в окружность и опирается на диаметр BD, следовательно \( \angle BCD = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BCD: \( \angle BDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ} \).

Так как AC и BD — диаметры, они пересекаются в центре O. Углы AOD и BOC — вертикальные. Углы AOB и COD — вертикальные.

Рассмотрим треугольник BOC. \( \angle OBC = 28^{\circ} \). \( \angle OCB \) — это половина \( \angle BCD \) ? Нет.

Угол CBD = 28°. Угол BDC = 62°.

Угол CAD = Угол CBD = 28° (опираются на дугу CD).

Угол BAC = Угол BDC = 62° (опираются на дугу BC).

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ABD = 62°. Угол ACD — ?

Угол AOD = 180° - Угол COD.

Угол COD = Угол AOB.

Угол ACB = Угол ADB = 28° (опираются на дугу AB). Нет, это неверно.

В треугольнике COD, \( \angle ODC = 62^{\circ} \). \( \angle OCD \) - ?

Угол CBD = 28°. Угол ADB = 28° (опираются на дугу AB).

Угол BAC = 62°. Угол BDC = 62° (опираются на дугу BC).

Угол AOD = 180° - \( \angle COD \).

Угол COD = 180° - (\( \angle OCD + \angle ODC \)).

\( \angle ODC = 62^{\circ} \).

Угол OCD = Угол ACB. Но \( \angle ACB \) не известно.

Угол BOC = 180° - \( \angle CBD \) - \( \angle OCB \).

Рассмотрим треугольник BCD: \( \angle BCD = 90^{\circ} \), \( \angle CBD = 28^{\circ} \), \( \angle BDC = 62^{\circ} \).

Угол AOD и угол BOC — вертикальные. \( \angle AOD = \angle BOC \).

Угол AOB и угол COD — вертикальные. \( \angle AOB = \angle COD \).

В треугольнике BOC: \( OB = OC \) (радиусы). \( \angle OBC = 28^{\circ} \). \( \angle OCB = 28^{\circ} \). \( \angle BOC = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 28^{\circ} = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).

\( \angle AOD = \angle BOC = 124^{\circ} \).

Ответ: \( 124^{\circ} \).

4. Найдите периметр квадрата ABCD.

Точка О — середина стороны CD. Это значит, что CD является диаметром окружности. Радиус окружности равен OA = 2√7. Так как O — середина CD, то OD = OC = OA = 2√7.

Следовательно, сторона квадрата CD = 2 * OD = 2 * 2√7 = 4√7.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Так как у квадрата все стороны равны:

Периметр = 4 * сторона

Периметр = 4 * 4√7 = 16√7.

Ответ: \( 16\sqrt{7} \).