1. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:7. Найдите меньший острый угол. 2. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°. Меньший катет равен 10см. Найти гипотенузу. 3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона 7 см, а его периметр равен 24см. Найти основание треугольника. 4. Один из смежных углов равен 109°. Найти другой угол. 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине А равен 100°. Найдите величину угла АВС. 6. Прямые т и п параллельны. Найдите 21, если 22 = 41°, 43 = 68°. 7. К окружности каcательные ВА и ВС (А и С - точки касания). Найдите 2ВCA, если ZOAC = 32°.

Задание 1

Условие: Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 2:7.

Решение:

1. Пусть углы равны \( 2x \) и \( 7x \).
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \).
3. Составляем уравнение: \( 2x + 7x = 90^\circ \).
4. \( 9x = 90^\circ \).
5. \( x = 10^\circ \).
6. Меньший угол равен \( 2x = 2 \cdot 10^\circ = 20^\circ \).

Ответ: 20°.

Задание 2

Условие: В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, меньший катет равен 10 см.

Найти: гипотенузу.

Решение:

1. Если один острый угол равен 60°, то другой равен \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
3. Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла (30°).
4. Пусть гипотенуза равна \( c \). Тогда \( 10 = \frac{c}{2} \).
5. \( c = 10 \cdot 2 = 20 \) см.

Ответ: 20 см.

Задание 3

Условие: В равнобедренном треугольнике боковая сторона 7 см, периметр 24 см.

Найти: основание треугольника.

Решение:

1. Периметр равнобедренного треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания: \( P = 2a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.
2. Подставляем известные значения: \( 24 = 2 \cdot 7 + b \).
3. \( 24 = 14 + b \).
4. \( b = 24 - 14 = 10 \) см.

Ответ: 10 см.

Задание 4

Условие: Один из смежных углов равен 109°.

Найти: другой угол.

Решение:

1. Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Пусть один угол равен \( \alpha \), другой — \( \beta \).
3. \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
4. \( 109^\circ + \beta = 180^\circ \).
5. \( \beta = 180^\circ - 109^\circ = 71^\circ \).

Ответ: 71°.

Задание 5

Условие: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине А равен 100°.

Найти: величину угла АВС.

Решение:

1. Внешний угол при вершине А равен 100°, значит, внутренний угол А равен \( 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
2. Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = 80^\circ \).
3. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ \).
4. \( \angle ABC + 80^\circ + 80^\circ = 180^\circ \).
5. \( \angle ABC + 160^\circ = 180^\circ \).
6. \( \angle ABC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \).

Ответ: 20°.

Задание 6

Условие: Прямые т и п параллельны. \( \angle 2 = 41^\circ \), \( \angle 3 = 68^\circ \).

Найти: \( \angle 1 \).

Решение:

1. Угол, смежный с углом 3, равен \( 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
2. Так как прямые т и п параллельны, то накрест лежащий угол при пересечении секущей и прямых равен \( 112^\circ \).
3. Угол 2 и этот накрест лежащий угол являются односторонними, их сумма равна \( 180^\circ \). \( 41^\circ + 112^\circ = 153^\circ \), что не равно \( 180^\circ \). В условии, вероятно, ошибка. Будем считать, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) относятся к другой конфигурации.
4. Предположим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) — накрест лежащие углы, а \( \angle 3 \) — смежный угол к углу, который образует секущую с прямой \( n \).
5. Если \( \angle 2 = 41^\circ \) и \( \angle 3 = 68^\circ \), и \( m \parallel n \), то проведем секущую, которая образует \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \).
6. Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
7. Угол \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей, тогда \( \angle 1 = \angle 2 = 41^\circ \).
8. Если \( \angle 3 \) — это угол между секущей и прямой \( n \) (внутренний накрест лежащий с частью \( \angle 1 \)), то \( \angle 3 \) является внутренним накрест лежащим углом, тогда \( \angle 3 = 68^\circ \).
9. Рассмотрим другой вариант: проведем через вершину угла \( \angle 1 \) третью прямую, параллельную \( m \) и \( n \).
10. Пусть \( \angle 2 = 41^\circ \) и \( \angle 3 = 68^\circ \).
11. Если \( m ―― n \), то \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) являются накрест лежащими, то есть \( \angle 1 = \angle 2 = 41^\circ \).
12. Если \( \angle 3 = 68^\circ \) — это угол, образуемый секущей с прямой \( n \) (соответствующий углу \( \angle 1 \)), то \( \angle 1 = \angle 3 = 68^\circ \).
13. Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это накрест лежащие углы, а \( \angle 3 \) — это угол, который образует та же секущая с прямой \( n \).
14. Тогда \( \angle 1 = \angle 2 = 41^\circ \) (накрест лежащие).
15. Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
16. Это не совпадает. Исходя из рисунка, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие, а \( \angle 3 \) — внутренний односторонний с \( \angle 1 \) (или накрест лежащий с углом, смежным \( \angle 1 \)).
17. Если \( \angle 2 = 41^\circ \) и \( \angle 3 = 68^\circ \), то \( \angle 1 \) является накрест лежащим к \( \angle 2 \), следовательно \( \angle 1 = 41^\circ \).
18. Но тогда \( \angle 3 \) не связан с \( \angle 1 \) или \( \angle 2 \) таким образом, чтобы из \( \angle 3 \) можно было бы определить \( \angle 1 \) при условии, что \( m ―― n \).
19. Перерисуем условие: проведена одна секущая. \( \angle 2 = 41^\circ \), \( \angle 3 = 68^\circ \). \( m ―― n \). Найти \( \angle 1 \).
20. Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
21. Пусть \( \alpha \) — угол между секущей и прямой \( m \), который соответствует \( \angle 3 \) по положению. Тогда \( \alpha = 68^\circ \) (соответственные углы).
22. \( \angle 1 \) — это угол, образованный секущей и прямой \( m \).
23. \( \angle 1 \) и \( \alpha \) — смежные углы. \( \angle 1 = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
24. Это не соответствует \( \angle 2 = 41^\circ \).
25. Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие, а \( \angle 3 \) — внутренний односторонний с \( \angle 1 \).
26. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние, то \( \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ \). \( \angle 1 = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).
27. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие, то \( \angle 1 = \angle 2 = 41^\circ \).
28. Из рисунка можно предположить, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — это части угла, образованного секущей и прямой \( n \).
29. \( \angle 2 = 41^\circ \). \( \angle 3 = 68^\circ \).
30. \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие. \( \angle 1 = 41^\circ \).
31. Угол, образованный секущей и прямой \( n \) (ниже прямой \( n \) и правее секущей), равен \( 41^\circ \).
32. Угол \( \angle 3 = 68^\circ \) — внутренний накрест лежащий с углом, который является смежным к \( \angle 1 \) на прямой \( m \).
33. Следовательно, \( \angle 1 = 41^\circ \).

Ответ: 41°.

Задание 7

Условие: Касательные ВА и ВС к окружности с центром О. А и С — точки касания. \( \angle OAC = 32^\circ \).

Найти: \( \angle BCA \).

Решение:

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. \( OA ⊥ BA \) и \( OC ⊥ BC \).
2. \( \angle OAB = 90^\circ \) и \( \angle OCB = 90^\circ \).
3. Треугольник ОАС равнобедренный (ОА = ОС — радиусы).
4. \( \angle OCA = \angle OAC = 32^\circ \).
5. \( \angle BAC = \angle OAB - \angle OAC = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \).
6. \( \angle BCA = \angle OCB - \angle OCA = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \).
7. В четырехугольнике АВС О: \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA + \angle AOC = 360^\circ \).
8. \( \angle AOC = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ \).
9. \( \angle ABC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ \).
10. \( \angle BCA \) — это угол, который мы ищем.
11. Из \( \triangle OAC \): \( \angle AOC = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 116^\circ \).
12. В четырехугольнике АВС О: \( \angle ABC + \angle OAB + \angle AOC + \angle OCB = 360^\circ \).
13. \( \angle ABC + 90^\circ + 116^\circ + 90^\circ = 360^\circ \).
14. \( \angle ABC + 296^\circ = 360^\circ \).
15. \( \angle ABC = 64^\circ \).
16. Рассмотрим \( \triangle BAC \). \( \angle BAC = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \).
17. \( \triangle ABC \) — равнобедренный, так как ВА = ВС (касательные, проведенные из одной точки).
18. \( \angle BCA = \angle BAC = 58^\circ \).

Ответ: 58°.