1. Две окружности с центрами в точках A и B внешне касаются. В центре окружности с центром A отмечена точка M. Через точку M проведена прямая, пересекающая окружность с центром B в точках K и L. Докажите, что ∠AKB = ∠ALB.

Так как окружности внешне касаются, прямая их центров является общей касательной в точке касания. Поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: \(AB=R_A+R_B\).

Поскольку точка M находится в центре окружности с центром A, \(AM=R_A\). Точка M лежит на окружности с центром B, поэтому \(BM=R_B\). Следовательно, \(AB=AM+BM\), значит, точки A, M и B лежат на одной прямой, причём M находится между A и B.

Прямая через M пересекает окружность с центром B в точках K и L. Отрезок KL — хорда этой окружности, а BM перпендикулярен KL, поскольку перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Значит, \(MK=ML\).

Кроме того, \(AK=AM\) и \(AL=AM\), так как K и L лежат на окружности с центром A? Это утверждение неверно: точки K и L лежат только на окружности с центром B. Поэтому используем теорему о равных углах, опирающихся на одну и ту же хорду.

В окружности с центром B точки A, K и L не принадлежат одной окружности, поэтому необходимое доказательство строится через равенство углов между секущими и линией центров: из равенства радиусов и симметрии хорд относительно прямой BM следует, что \(BK=BL\), а треугольники \(ABK\) и \(ABL\) равны по трём сторонам: \(AB\) — общая сторона, \(BK=BL\), \(AK=AL\). Однако равенство \(AK=AL\) также не следует из условия без дополнительного обоснования.

Таким образом, по изображённому условию доказательство в таком виде неоднозначно: вероятно, в тексте пропущено дополнительное условие о расположении точки M или о второй окружности. Нужна более чёткая фотография условия.