1. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма. 2. В треугольнике АВС известно, что АС = 3√2 см, ВС = 3 см, ∠A = 30°. Найдите угол В.

Задание 1. Параллелограмм

Дано:

• Стороны параллелограмма: \( a = 4 \) см, \( b = 4\sqrt{3} \) см.
• Угол между ними: \( \alpha = 30^\circ \).

Найти: 1) большую диагональ \( d_1 \); 2) площадь \( S \).

Решение:

1. Нахождение большей диагонали: Используем теорему косинусов. Угол при второй стороне равен \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
2. \( d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(150^\circ) \)
3. \( d_1^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
4. \( d_1^2 = 16 + (16 \cdot 3) - 32\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
5. \( d_1^2 = 16 + 48 + 32 \cdot \frac{3}{2} = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112 \)
6. \( d_1 = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} \) см.
7. Нахождение площади:
8. \( S = ab \sin(\alpha) \)
9. \( S = 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{3} \) см².

Ответ: 1) \( 4\sqrt{7} \) см; 2) \( 8\sqrt{3} \) см².

Задание 2. Треугольник ABC

Дано:

• \( AC = 3\sqrt{2} \) см.
• \( BC = 3 \) см.
• \( \angle A = 30^\circ \).

Найти: \( \angle B \).

Решение:

1. Используем теорему синусов: \[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]
2. Подставляем известные значения: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle B)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} \]
3. \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
4. \( \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle B)} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \)
5. \( \sin(\angle B) = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
6. Отсюда \( \angle B = 45^\circ \) или \( \angle B = 135^\circ \).
7. Проверим сумму углов. Если \( \angle B = 45^\circ \), то \( \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \).
8. Если \( \angle B = 135^\circ \), то \( \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ \).
9. Оба варианта возможны.

Ответ: \( 45^\circ \) или \( 135^\circ \).