1. Две стороны треугольника, из которых одна длиннее другой на 2, лежат против углов 30° и 45°. Найдите длину каждой из сторон.

Обозначим стороны, лежащие против углов 30° и 45°, через \(a\) и \(b\), причём \(b-a=2\).

По теореме синусов:

\[\frac{a}{\sin 30^\circ}=\frac{b}{\sin 45^\circ}=k.\]

Тогда \(a=k\sin30^\circ=\frac{k}{2}\), а \(b=k\sin45^\circ=\frac{k\sqrt2}{2}\).

Используем условие разности:

\[\frac{k\sqrt2}{2}-\frac{k}{2}=2,\]

\[k(\sqrt2-1)=4,\qquad k=\frac{4}{\sqrt2-1}=4(\sqrt2+1).\]

Следовательно, сторона, лежащая против угла 30°:

\[a=\frac{k}{2}=2(\sqrt2+1).\]

Сторона, лежащая против угла 45°:

\[b=\frac{k\sqrt2}{2}=4+2\sqrt2.\]

Если требуется найти третью сторону, то третий угол равен \(180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\). Поэтому:

\[c=k\sin105^\circ=(\sqrt2+1)(\sqrt6+\sqrt2).\]

Ответ: стороны, лежащие против углов 30° и 45°, равны \(2(\sqrt2+1)\) и \(4+2\sqrt2\) соответственно; третья сторона равна \((\sqrt2+1)(\sqrt6+\sqrt2)\).