1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Обозначим стороны, равные 10 и 12, через \(a\) и \(b\), третью сторону — через \(c\), а медиану к ней — через \(m_c=5\).

По формуле медианы:

\[m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.\]

Подставим известные значения:

\[25=\frac{10^2+12^2}{2}-\frac{c^2}{4}=122-\frac{c^2}{4}.\]

\[\frac{c^2}{4}=97,\qquad c^2=388.\]

Найдём косинус угла между сторонами 10 и 12 по теореме косинусов:

\[c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos\alpha,\]

\[388=244-240\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=-\frac35.\]

Следовательно, \(\sin\alpha=\frac45\). Площадь треугольника:

\[S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\frac45=48.\]

Ответ: 48.