1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Обозначим третью сторону через \(c\), а угол между сторонами 10 и 12 — через \(C\).

1. По теореме Аполлония для медианы к стороне \(c\): \(m_c^2=\dfrac{2\cdot10^2+2\cdot12^2-c^2}{4}\). Подставим \(m_c=5\): \(25=\dfrac{488-c^2}{4}\), откуда \(c^2=388\).
2. По теореме косинусов: \(c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos C\). Поэтому \(388=244-240\cos C\), значит \(\cos C=-\dfrac35\). Так как угол треугольника лежит между \(0\) и \(\pi\), получаем \(\sin C=\dfrac45\).
3. Площадь равна \(S=\dfrac12\cdot10\cdot12\cdot\sin C=60\cdot\dfrac45=48\).

Ответ: 48 квадратных единиц.