№ 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Найдём третью сторону по теореме косинусов:

Пусть стороны, образующие угол 120°, равны 10 см и 12 см, а третья сторона равна \(c\). Тогда

\[c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ.\]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем

\[c^2=100+144+120=364,\qquad c=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\text{ см}.\]

Найдём площадь: площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними равна половине произведения этих сторон на синус угла:

\[S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin120^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{91}\) см; площадь — \(30\sqrt3\) см².