1. Две стороны треугольника равны 13 см и 48 см, а угол между ними 60°. Найди- те периметр и площадь тре- угольника.

Решение:

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используем формулу:

S = \( \frac{1}{2}ab \sin{\gamma} \)

где \( a \) и \( b \) — длины двух сторон, а \( \gamma \) — угол между ними.

1. Находим площадь:
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 13 \text{ см} \cdot 48 \text{ см} \cdot \sin{60^{\circ}} \)
   \( \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)
   \( S = 13 \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)
   \( S = 13 \cdot 12 \sqrt{3} \text{ см}^2 \)
   \( S = 156 \sqrt{3} \text{ см}^2 \)
2. Находим третью сторону по теореме косинусов:
   \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \)
   \( c^2 = 13^2 + 48^2 - 2 \cdot 13 \cdot 48 \cdot \cos{60^{\circ}} \)
   \( c^2 = 169 + 2304 - 2 \cdot 13 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} \text{ см}^2 \)
   \( c^2 = 2473 - 624 \text{ см}^2 \)
   \( c^2 = 1849 \text{ см}^2 \)
   \( c = \sqrt{1849} \text{ см} \)
   \( c = 43 \text{ см} \)
3. Находим периметр:
   \( P = a + b + c \)
   \( P = 13 \text{ см} + 48 \text{ см} + 43 \text{ см} \)
   \( P = 104 \text{ см} \)

Ответ: Периметр треугольника равен 104 см, площадь равна 156\(\sqrt{3}\) см².